高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識總結(jié)

時間：2024-10-28 06:58:35 高中數(shù)學(xué) 我要投稿

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識總結(jié)(熱)

　　總結(jié)是在某一特定時間段對學(xué)習(xí)和工作生活或其完成情況，包括取得的成績、存在的問題及得到的經(jīng)驗和教訓(xùn)加以回顧和分析的書面材料，它有助于我們尋找工作和事物發(fā)展的規(guī)律，從而掌握并運用這些規(guī)律，不如立即行動起來寫一份總結(jié)吧。如何把總結(jié)做到重點突出呢？以下是小編幫大家整理的高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識總結(jié)，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識總結(jié)(熱)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識總結(jié)1

　　一般地，對于函數(shù)f（x）

　�。�1）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（—x）=—f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)。

　　（2）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的'任意一個x，都有f（—x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)。

　�。�3）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，f（—x）=—f（x）與f（—x）=f（x）同時成立，那么函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱為既奇又偶函數(shù)。

　�。�4）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，f（—x）=—f（x）與f（—x）=f（x）都不能成立，那么函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)。

　　說明：①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對整個定義域而言

　　②奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱，如果一個函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)一定不是奇（或偶）函數(shù)。

　�。ǚ治觯号袛嗪瘮�(shù)的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關(guān)于原點對稱，然后再嚴格按照奇、偶性的定義經(jīng)過化簡、整理、再與f（x）比較得出結(jié)論）

　�、叟袛嗷蜃C明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義

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　　（1）指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合，這里的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。

　�。�2）指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合。

　�。�3）函數(shù)圖形都是下凹的。

　�。�4） a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的`。

　�。�5）可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當(dāng)a從0趨向于無窮大的過程中（當(dāng)然不能等于0），函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

　�。�6）函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸，永不相交。

　�。�7）函數(shù)總是通過（0，1）這點。

　�。�8）顯然指數(shù)函數(shù)無界。

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　　形如 y=k/x（k為常數(shù)且k≠0）的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。

　　自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。

　　反比例函數(shù)圖像性質(zhì)：

　　反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。

　　由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f（—x）=—f（x），圖像關(guān)于原點對稱。

　　另外，從反比例函數(shù)的'解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點，向兩個坐標(biāo)軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

　　如圖，上面給出了k分別為正和負（2和—2）時的函數(shù)圖像。

　　當(dāng)K>0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過一，三象限，是減函數(shù)

　　當(dāng)K<0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過二，四象限，是增函數(shù)

　　反比例函數(shù)圖像只能無限趨向于坐標(biāo)軸，無法和坐標(biāo)軸相交。

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　　定義域、對應(yīng)法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個基本“元件”。平時數(shù)學(xué)中，實行“定義域優(yōu)先”的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學(xué)生對函數(shù)的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當(dāng)?shù)�，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時處于互相轉(zhuǎn)化之中（典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉(zhuǎn)化）。如果函數(shù)的值域是無限集的話，那么求函數(shù)值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質(zhì)有時并不能奏效，還必須聯(lián)系函數(shù)的.奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利于對定義域內(nèi)函的理解，從而深化對函數(shù)本質(zhì)的認識。

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　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）

　　頂點式：y=a（x—h）^2+k [拋物線的頂點P（h，k）]

　　交點式：y=a（x—x？）（x—x ？） [僅限于與x軸有交點A（x？，0）和 B（x？，0）的拋物線]

　　注：在3種形式的'互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：

　　h=—b/2ak=（4ac—b^2）/4a x？，x？=（—b±√b^2—4ac）/2a

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　　過反比例函數(shù)圖象上任意一點作兩坐標(biāo)軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為| k |。

　　對于雙曲線y=k/x ，若在分母上加減任意一個實數(shù) （即 y=k/（x±m(xù)）m為常數(shù)），就相當(dāng)于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。（加一個數(shù)時向左平移，減一個數(shù)時向右平移）

　　對數(shù)函數(shù)

　　對數(shù)函數(shù)的一般形式為，它實際上就是指數(shù)函數(shù) 的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

　　右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：

　　可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的`圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。

　　（1）對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。

　�。�2）對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合。

　�。�3）函數(shù)總是通過（1，0）這點。

　　（4）a大于1時，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸；a小于1大于0時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。

　�。�5）顯然對數(shù)函數(shù)無界。

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　　特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c，當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），即ax^2+bx+c=0

　　此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。

　　函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)即為方程的根。

　　二次函數(shù)y=ax^2，y=a（x—h）^2，y=a（x—h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標(biāo)及對稱軸如下表：

　　解析式頂點坐標(biāo)對稱軸

　　y=ax^2（0，0） x=0

　　y=a（x—h）^2（h，0） x=h

　　y=a（x—h）^2+k（h，k） x=h

　　y=ax^2+bx+c（—b/2a，[4ac—b^2]/4a） x=—b/2a

　　當(dāng)h>0時，y=a（x—h）^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，當(dāng)h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到。

　　當(dāng)h>0，k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a（x—h）^2+k的圖象；

　　當(dāng)h>0，k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a（x—h）^2+k的圖象；

　　當(dāng)h<0，k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a（x—h）^2+k的圖象；

　　當(dāng)h<0，k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a（x—h）^2+k的圖象；

　　因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖象，通過配方，將一般式化為y=a（x—h）^2+k的形式，可確定其頂點坐標(biāo)、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了。這給畫圖象提供了方便。

　　拋物線y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖象：當(dāng)a>0時，開口向上，當(dāng)a<0時開口向下，對稱軸是直線x=—b/2a，頂點坐標(biāo)是（—b/2a，[4ac—b^2]/4a）。

　　拋物線y=ax^2+bx+c（a≠0），若a>0，當(dāng)x ≤ —b/2a時，y隨x的增大而減��；當(dāng)x ≥ —b/2a時，y隨x的增大而增大。若a<0，當(dāng)x ≤ —b/2a時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x ≥ —b/2a時，y隨x的增大而減小。

　　拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點：

　　（1）圖象與y軸一定相交，交點坐標(biāo)為（0，c）；

　�。�2）當(dāng)△=b^2—4ac>0，圖象與x軸交于兩點A（x？，0）和B（x？，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

　�。╝≠0）的兩根。這兩點間的距離AB=|x？—x？|

　　當(dāng)△圖象與x軸只有一個交點；

　　當(dāng)△<圖象與x軸沒有交點。當(dāng)a>0時，圖象落在x軸的.上方，x為任何實數(shù)時，都有y>0；當(dāng)a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y<

　　拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0（a<0），則當(dāng)x= —b/2a時，y最�。ù螅┲�=（4ac—b^2）

　　頂點的橫坐標(biāo)，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標(biāo)，是最值的取值。

　　用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

　�。�1）當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：

　　y=ax^2+bx+c（a≠0）。

　　（2）當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時，可設(shè)解析式為頂點式：y=a（x—h）^2+k（a≠0）。

　�。�3）當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a（x—x？）（x—x？）（a≠0）。

　　二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn)。

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　　②作差f（x1）—f（x2），并適當(dāng)變形（“分解因式”、配方成同號項的和等）；

　�、垡罁�(jù)差式的符號確定其增減性。

　　2、導(dǎo)數(shù)法：

　　設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo)。如果f′（x）>0，則f（x）在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù)；如果f′（x）<0，則f（x）在區(qū)間D內(nèi)為減函數(shù)。

　　補充

　　若使得f′（x）=0的x的值只有有限個，則如果f ′（x）≥0，則f（x）在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù)；如果f′（x） ≤0，則f（x）在區(qū)間D內(nèi)為減函數(shù)。

　　單調(diào)性的判斷方法：定義法及導(dǎo)數(shù)法、圖象法、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（同增異減）、用已知函數(shù)的單調(diào)性等。

　　二、單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論

　　1、若f（x），g（x）均為增（減）函數(shù)，則f（x）+g（x）仍為增（減）函數(shù)。

　　2、互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調(diào)性。

　　3、y=f[g（x）]是定義在M上的函數(shù)，若f（x）與g（x）的單調(diào)性相同，則其復(fù)合函數(shù)f[g（x）]為增函數(shù)；若f（x）、g（x）的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù)f[g（x）]為減函數(shù)，簡稱”同增異減”。

　　4、奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反。

　　函數(shù)奇偶性知識點

　　一、簡單性質(zhì)：

　　1、圖象的對稱性質(zhì)：

　　一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的.圖象關(guān)于y軸對稱；

　　2、設(shè)f（x），g（x）的定義域分別是D1，D2那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇

　　3、任意一個定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)f（x）均可寫成一個奇函數(shù)g（x）與一個偶函數(shù)h（x）和的形式

　　4、奇偶函數(shù)圖象的對稱性

　　（1）若y=f（a+x）是偶函數(shù)，則f（a+x）=f（a—x）？f（2a—x）=f（x）？f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱；（2）若y=f（b+x）是偶函數(shù)，則f（b—x）=—f（b+x）？f（2a—x）=—f（x）？f（x）的圖象關(guān)于點（b，0）中心對稱

　　5、一些重要類型的奇偶函數(shù)