高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)

時間：2024-10-25 08:44:02 高中數(shù)學(xué)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)【熱】

　　總結(jié)是事后對某一時期、某一項目或某些工作進(jìn)行回顧和分析，從而做出帶有規(guī)律性的結(jié)論，它可以使我們更有效率，因此我們要做好歸納，寫好總結(jié)。那么總結(jié)應(yīng)該包括什么內(nèi)容呢？下面是小編整理的高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)，希望對大家有所幫助。

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)【熱】

　　(一)映射、函數(shù)、反函數(shù)

　　1.對應(yīng)、映射和函數(shù)的概念既有共性又有差異。映射是一種特殊的對應(yīng)，函數(shù)是一種特殊的映射.

　　2.函數(shù)概念應(yīng)注意以下幾點:

　　(1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三個要素，判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).

　�。�2）掌握三種表示方法-列表方法、分析方法和圖像方法，可以根據(jù)實際問題尋求變量之間的函數(shù)關(guān)系，特別是分段函數(shù)的分析方法.

　　(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g復(fù)合函數(shù)，其中g(shù)(x)為內(nèi)函數(shù)，f(u)為外函數(shù).

　　3、求函數(shù)y=f(x)反函數(shù)的一般步驟：

　　(1)確定原函數(shù)的值域，即反函數(shù)的定義域；

　　(2)由y=f(x)分析式求出x=f-1(y);

　　(3)將x，y習(xí)慣性表達(dá)式的反函數(shù)對換y=f-1(x)，并注明定義域.

　　注意①：對于分段函數(shù)的反函數(shù)，首先在各段找出反函數(shù)，然后合并在一起.

　　②熟悉應(yīng)用，求f-1(x0)值，合理利用這個結(jié)論，可以避免求反函數(shù)的過程，從而簡化操作.

　　(2)函數(shù)的分析和定義域

　　1.函數(shù)及其定義域是一個不可分割的整體，沒有定義域的函數(shù)不存在。因此，要正確寫出函數(shù)的分析，必須在找出變量之間的相應(yīng)規(guī)則的同時找出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種:

　　(1)有時一個函數(shù)來自一個實際問題，當(dāng)自變量x具有實際意義時，應(yīng)結(jié)合實際意義考慮定義域；

　　(2)已知函數(shù)的解析式要求其定義域，只要使解析式有意義.如：

　�、俜帜覆坏脼榱悖�

　�、谂即畏礁婚_方數(shù)不小于零；

　�、蹖�(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；

　�、苤笖�(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零，不等于1；

　　⑤三角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函數(shù)y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.

　　需要注意的是，當(dāng)一個函數(shù)的分析類型由幾個部分組成時，定義為自變量值的公共部分（即交叉）.

　　(3)已知一個函數(shù)的定義域，要求另一個函數(shù)的定義域主要考慮定義域的深刻含義.

　　已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]定義域是指滿足a≤g(x)≤bx的值范圍已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f(x)定義域，即g(x)的值域.

　　2.求函數(shù)的分析一般有四種情況

　　(1)根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系時，必須引入適當(dāng)?shù)淖兞�，根�?jù)數(shù)學(xué)知識尋求函數(shù)的分析.

　　(2)有時題設(shè)給出函數(shù)特征，求函數(shù)的分析可以采用待定系數(shù)法.例如，函數(shù)是一個函數(shù)，可以設(shè)置f(x)=ax b(a≠0)，其中a，b為待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件列出方程組a，b即可.

　　(3)如果題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g(x)]在表達(dá)式中，可以用換元法求函數(shù)f(x)此時，必須找出表達(dá)式g(x)值域相當(dāng)于求函數(shù)的定義域.

　　(4)若已知f(x)這個等式除了滿足某個等式f(x)除未知量外，還有其他未知量(如未知量)f(-x)，等)，必須根據(jù)已知等式構(gòu)建其他等式組成方程組，并使用解方程組法找f(x)的表達(dá)式.

　　(3)函數(shù)的值域和最值

　　1.函數(shù)值域取決于定義域和相應(yīng)規(guī)則。無論采用何種方法尋求函數(shù)值域，都應(yīng)首先考慮其定義域。尋求函數(shù)值域的常用方法如下：

　　(1)直接法:又稱觀察法。對于結(jié)構(gòu)相對簡單的函數(shù)，函數(shù)的分析應(yīng)用不等式的性質(zhì)可以直接觀察到.

　　(2)換元法:使用代數(shù)或三角換元將給出的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)換為另一個簡單的函數(shù)再求值域。如果函數(shù)分析包含根式，則在根式中使用代數(shù)換元，在根式中使用代數(shù)換元。.

　　(3)反函數(shù)法:使用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)原函數(shù)的值域是通過求反函數(shù)的定義域獲得的(a≠這種方法可以獲得0)函數(shù)值域.

　　(4)配方法:可以考慮與二次函數(shù)或二次函數(shù)相關(guān)的函數(shù)的值域.

　　(5)不等式法求值域:使用基本不等式a b≥[a，b∈(0， ∞)]可以要求某些函數(shù)的值域，但要注意一正二定三相等的條件，有時需要平方等技能.

　　(6)判別法:把y=f(x)變形為x的一元二次方程，使用△≥0”求值域.題型的特征是分析式包含根式或分式.

　　(7)使用函數(shù)的單調(diào)性求值域:當(dāng)函數(shù)確定函數(shù)在其定義域(或某個定義域的子集)的單調(diào)性時，可以通過單調(diào)性法找到函數(shù)的值域.

　　(8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域:利用函數(shù)表示的幾何意義，借助幾何方法或圖像，找出函數(shù)的值域，即數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域.

　　2.求函數(shù)的最大值與值域之間的差異和聯(lián)系

　　求函數(shù)最值的常用方法與求函數(shù)值域的方法基本相同。事實上，如果函數(shù)值域中有最�。ù螅⿺�(shù)，則該數(shù)為函數(shù)的最�。ù螅┲�.因此，求函數(shù)的最值和值域本質(zhì)上是相同的，但問題的角度是不同的，所以回答問題的方式是不同的

　　如果函數(shù)的值域是(0，16]，最大值是16，沒有最小值.再比如函數(shù)的值域(-∞，-2]∪[2， ∞)，但該函數(shù)沒有最大值和最小值，只有在函數(shù)定義域發(fā)生變化后x>0時，函數(shù)的最小值為2�？梢姸x域?qū)瘮?shù)值域或最大值的影響.

　　3.函數(shù)的最大值應(yīng)用于實際問題

　　函數(shù)最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在函數(shù)知識的實際問題上，通常表現(xiàn)為最低工程成本、最大利潤或面積（體積）最大（最小）等實際問題，特別注意自變量的實際意義，以正確獲得最值.

　　(4)函數(shù)的奇偶性

　　1.函數(shù)奇偶性的定義:函數(shù)f(x)，如果函數(shù)定義域中的任何一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函數(shù)f(x)稱為奇函數(shù)(或偶函數(shù)).

　　要正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，我們應(yīng)該注意兩點：（1）數(shù)軸上的定義域f(x)奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件不足；(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域的整體性質(zhì)).

　　2.奇偶函數(shù)的定義是判斷奇偶函數(shù)的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要簡化函數(shù)或等價應(yīng)用定義：

　　注意以下結(jié)論的應(yīng)用：

　　(1)不論f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，f(|x|)偶函數(shù)總是；

　　(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù)，所以在D1∩D2上，f(x) g(x)是奇函數(shù)，f(x)·g(x)是偶函數(shù)，類似于奇怪±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

　　(3)奇偶函數(shù)復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù)；

　　(4)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

　　3.奇偶性的幾個性質(zhì)和結(jié)論

　　(1)一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件，它的圖像是關(guān)于原點對稱的；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件，它的圖像是關(guān)于y軸對稱的

　　(2)如果函數(shù)的定義域?qū)ΨQ原點，函數(shù)值恒為零，那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

　　(3)若奇函數(shù)f(x)在x=0有意義，則f(0)=0成立.

　　(4)若f(x)具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，則奇(偶)函數(shù)在正負(fù)對稱區(qū)間的單調(diào)性相同(反)。

　　(5)若f(x)原點對稱的定義域，F(xiàn)(x)=f(x) f(-x)是偶函數(shù)，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù).

　　(6)奇偶推廣

　　函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的任何x都有f(a x)=f(a-x)，則y=f(x)關(guān)于直線的圖像x=a對稱，即y=f(a x)為偶函數(shù).函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的任-x都有f(a x)=-f(a-x)，則y=f(x)圖像關(guān)于點(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a x)為奇函數(shù)。

　　拓展閱讀:總結(jié)初中所有函數(shù)知識點

　　1、一次函數(shù)

　　2、二次函數(shù)

　　三、反比例函數(shù)

　　4.正比函數(shù)

　　1.正比例函數(shù)的求法

　　形如y=kx(k為常數(shù)，k不等于0)，y稱為x的正比函數(shù).

　　圖像練習(xí)：1.帶定系數(shù) 2.描點 3.連線

　　圖像是一條必須通過坐標(biāo)軸原點的直線

　　性質(zhì):當(dāng)k>0時，圖像通過一、三象限，y隨著x的增加而增加

　　當(dāng)k<0時，圖像通過二、四象限，y隨著x的增加而減少

　　形如 y=k/x(k為常數(shù)且k≠0) 函數(shù)，稱為反比例函數(shù)。