平行四邊形教案

時(shí)間：2023-05-17 13:34:31 教案我要投稿

平行四邊形教案模板合集5篇

　　作為一位杰出的教職工，時(shí)常需要用到教案，教案是教學(xué)藍(lán)圖，可以有效提高教學(xué)效率。我們該怎么去寫教案呢？以下是小編為大家整理的平行四邊形教案5篇，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

平行四邊形教案模板合集5篇

平行四邊形教案篇1

　　教學(xué)過程

　　一、課堂引入

　　1．平行四邊形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；它們之間有什么聯(lián)系？

　　2．你能說說平行四邊形性質(zhì)與判定的用途嗎？

　�。ù穑浩叫兴倪呅沃R的運(yùn)用包括三個(gè)方面：一是直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)去解決某些問題．例如求角的度數(shù)，線段的長度，證明角相等或線段相等等；二是判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，從而判定直線平行等；三是先判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，然后再眼再用平行四邊形的性質(zhì)去解決某些問題．）

　　3．創(chuàng)設(shè)情境

　　實(shí)驗(yàn)：請同學(xué)們思考：將任意一個(gè)三角形分成四個(gè)全等的三角形，你是如何切割的？（答案如圖）

　　圖中有幾個(gè)平行四邊形？你是如何判斷的.？

　　二、例習(xí)題分析

　　例1（教材P98例4）如圖，點(diǎn)D、E、分別為△ABC邊AB、AC的中點(diǎn)，求證：DE∥BC且DE=BC．

　　分析：所證明的結(jié)論既有平行關(guān)系，又有數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想已學(xué)過的知識，可以把要證明的內(nèi)容轉(zhuǎn)化到一個(gè)平行四邊形中，利用平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)來證明結(jié)論成立，從而使問題得到解決，這就需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線來構(gòu)造平行四邊形．

　　方法1：如圖（1），延長DE到F，使EF=DE，連接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四邊形BCFD是平行四邊形．所以DF∥BC，DF=BC，因?yàn)镈E=DF，所以DE∥BC且DE=BC．

　�。ㄒ部梢赃^點(diǎn)C作CF∥AB交DE的延長線于F點(diǎn)，證明方法與上面大體相同）

　　方法2：如圖（2），延長DE到F，使EF=DE，連接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四邊形ADCF是平行四邊形．所以AD∥FC，且AD=FC．因?yàn)锳D=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四邊形ADCF是平行四邊形．所以DF∥BC，且DF=BC，因?yàn)镈E=DF，所以DE∥BC且DE=BC．

　　定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．

　　【思考】：

　�。�1）想一想：①一個(gè)三角形的中位線共有幾條？②三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？

　�。�2）三角形的中位線與第三邊有怎樣的關(guān)系？

　　（答：（1）一個(gè)三角形的中位線共有三條；三角形的中位線與中線的區(qū)別主要是線段的端點(diǎn)不同．中位線是中點(diǎn)與中點(diǎn)的連線；中線是頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)的連線．（2）三角形的中位線與第三邊的關(guān)系：三角形的中位線平行與第三邊，且等于第三邊的一半．）

　　三角形中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行與第三邊，且等于第三邊的一半。

平行四邊形教案篇2

　　目標(biāo)：

　　1.在理解的基礎(chǔ)上掌握平行四邊形的面積計(jì)算公式，能正確地計(jì)算平行四邊形的面積。

　　2、通過操作、觀察、比較等實(shí)踐活動(dòng)，經(jīng)歷主動(dòng)探索面積計(jì)算公式的過程，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力。

　　3、滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，激發(fā)探索的興趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高解決實(shí)際問題的能力。

　　教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握平行四邊形面積的計(jì)算公式，會利用公式正確計(jì)算平行四邊形的面積。

　　教學(xué)難點(diǎn)：理解平行四邊形面積公式的推倒過程，會利用公式正確計(jì)算平行四邊形的面積。

　　教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體、平行四邊形紙片. 剪刀、三角尺

　　一、創(chuàng)設(shè)情境

　　同學(xué)們，你們喜歡聽故事嗎？（喜歡）。今天老師說的故事發(fā)生在動(dòng)物村。這是小熊家，它的菜地是這塊；這是小兔家，它的菜地是這塊。它們覺得這樣跑來跑去干活很不方便，于是，小熊就說：“我們倆換塊菜地怎么樣”？小兔說：“好啊，可我不知道這兩塊地的面積是否相等？”同學(xué)們，你們能幫小兔解決這個(gè)問題嗎？

　　師：你們準(zhǔn)備怎樣解決呢？

　　生：分別算出長方形和平行四邊形的面積就行了。

　　師：誰來說怎樣計(jì)算長方形的面積？

　　生：長方形的面積等于長乘寬。

　　師：怎樣列式？（10×6＝60平方米）

　　師：求長方形的面積有公式很方便，那你會算平行四邊形的面積嗎？

　　生：-------

　　師：那么今天我們就來研究怎樣求平行四邊形的.面積.(板書課題：平行四邊形的面積)

　　二、探究新知

　�。�、學(xué)生嘗試解決，

　　師：同學(xué)們，仔細(xì)觀察這塊平行四邊形的菜地，你能想辦法把它的面積算出來嗎？老師相信你們一定行。

　　學(xué)生活動(dòng)，獨(dú)立嘗試解決。

　　教師巡視，

　�。病⒎答亴W(xué)生嘗試計(jì)算結(jié)果。

　　師：同學(xué)們有結(jié)果了嗎？

　　學(xué)生匯報(bào)結(jié)果。

　　師：求一個(gè)圖形的面積出現(xiàn)了這么多的結(jié)果，可能嗎？（不可能）

　　到底哪個(gè)結(jié)果正確呢？讓我們一起來驗(yàn)證一下。請同學(xué)們拿出平行四邊形紙，通過剪、拼的方法把這個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化成我們已學(xué)過的圖形。老師有一個(gè)小小的提示：應(yīng)該沿哪里剪才能把它拼成我們已學(xué)過的圖形。同桌合作。

　　3、學(xué)生匯報(bào)驗(yàn)證過程。

　　師：請你上臺把這過程演示一遍。

　　學(xué)生演示。

　　師：我想問一下，你這一剪是隨便剪的嗎？

　　生：不是，是沿高剪的。

　　師：哦，這位同學(xué)是這樣剪的。

　　師：不錯(cuò)，誰還有不同的剪法？

　　學(xué)生匯報(bào)。

　　師：大家聽明白了嗎？這兩個(gè)同學(xué)都是沿著平行四邊形的一條高剪開，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)長方形。看來，沿著平行四邊形的任意一條高剪開，都可以通過平移把平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)長方形。

　　師：現(xiàn)在，我請一位同學(xué)用老師的教具把平行四邊形轉(zhuǎn)化的過程再演示一遍。誰來上臺演示？

　　師：大家邊看邊想：轉(zhuǎn)化后的長方形和原來的平行四邊形比，什么變了？什么不變？

　　生：形狀變了，面積沒有變。

　　師：面積沒有變，也就是――（轉(zhuǎn)化后長方形的面積與原來的平行四邊形的面積相等。）

　　師：非常正確！

　　師：謝謝你開了個(gè)好頭。接下來，請小組討論：轉(zhuǎn)化后，長方形的長和寬分別與原來的平行四邊形的底和高有什么關(guān)系？

　　師演示教具。

　　生：轉(zhuǎn)化后的長方形，長與原來的平行四邊形的底相等，寬與原來平行四邊形的高相等。

　　師：說得真好。那現(xiàn)在平行四邊形的面積你們會算了嗎？

　　生：平行四邊形的面積等于底乘高。

　　師：不錯(cuò)。如果用S表示平行四邊形的面積，用a 表示底，用h表示高，平行四邊形的面積公式用字母怎樣表示呢？

　　學(xué)生說完，師完成板書：長方形的面積＝長×寬

　　平行四邊形的面積＝底×高

　　用字母表示：S＝a×h=ah

　　師：同學(xué)們真不簡單，經(jīng)過努力你們終于發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平行四邊形面積計(jì)算公式，老師為你們感到驕傲

　　請同學(xué)們打開數(shù)學(xué)書81頁，把平行四邊形的面積公式補(bǔ)充完整。這個(gè)面積公式適用于所有的平行四邊形。

　　師：剛才這三位同學(xué)都表現(xiàn)得很好。接下來，我再請一位同學(xué)來說說平行四邊形的面積是怎樣推導(dǎo)出來的，（出示課件）你會填嗎？

　　4、解決問題

　　師：通過同學(xué)們的努力，我們已經(jīng)推導(dǎo)出了平行四邊形面積的計(jì)算公式，我們再來看看原來同學(xué)們寫的這幾個(gè)結(jié)果哪一個(gè)才是正確的？那現(xiàn)在你們能為小熊、小兔倆解決問題了嗎？

　　生：能，小熊和小兔的菜地可以交換，因?yàn)檫@兩塊地的面積一樣大。

　　師：謝謝你們?yōu)樾⌒芎托⊥媒鉀Q了交換菜地的問題。

　　師：解決了小熊和小兔的問題，接下來老師要同學(xué)們算一算我們學(xué)校花壇的面積。

　　出示例１平行四邊形花壇的底是6m，高是4m，它的面積是多少?

　　學(xué)生嘗試練習(xí)，生上臺板演。

　　師：通過這道題，請大家想一想，要求平行四邊形的面積，我們必須知道哪些條件？

　　生：底和高。

　　師：不錯(cuò)，需要知道兩個(gè)條件，就是底和高。只要知道它的一組底和高就能求面積了。

　　三、鞏固練習(xí)

　　1、計(jì)算下列圖形的面積。

　　師：誰來說第1個(gè)圖形的面積怎么求？第2個(gè)圖形呢？剛才這兩個(gè)圖形的面積真是太容易算了，我們來一個(gè)稍為難點(diǎn)的圖形，這個(gè)圖形有點(diǎn)不一樣。同學(xué)們有沒有信心算出它的面積？（有）請同學(xué)們寫到課堂作業(yè)上。

　　生上臺板演。

　　師：同學(xué)們，算完了嗎？我們來看看這位同學(xué)做對了沒有？

　　師：今后我們在求平行四邊形的面積時(shí)，要看清楚它的底和高一定要相對應(yīng)。不能張冠李戴。

　　師：同學(xué)們，如果我給出底是12厘米相對應(yīng)的高，你們還能用另外一種方法算出它的面積嗎？（能）誰來說？

　　2、課本82頁第2題。

　　師：接下來，請同學(xué)們做課本82頁的第2題。你能想辦法求出它的面積嗎？你打算怎么做？女生算第1個(gè)圖形，男生算第2個(gè)圖形。我們比一比

　　學(xué)生上臺展示。，

　　3、考考你。

　　師：比完了，接下來老師又要出題目考你們了。

　　4、小小設(shè)計(jì)師。

　　師：同學(xué)們，想不想當(dāng)設(shè)計(jì)師。如果讓你設(shè)計(jì)一個(gè)黑板報(bào)欄目，要求面積是24平方分米，那么底和高各是多少分米？（底和高都是整數(shù)）

　　四、小結(jié)

　　師：今天這節(jié)課的知識你們是怎樣學(xué)會的呢？

　　師：今天同學(xué)們學(xué)得很好。好在哪里呢？同學(xué)們不是等待，而是動(dòng)腦筋，想辦法。敢于把新問題轉(zhuǎn)化成已有的知識來解決。

平行四邊形教案篇3

　　一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

　　１、經(jīng)歷探索多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則的過程，發(fā)展有條理的思考及語言表達(dá)能力。

　　2、會進(jìn)行簡單的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算

　　二、學(xué)習(xí)過程

　�。ㄒ唬┳詫W(xué)導(dǎo)航

　　1、創(chuàng)設(shè)情境

　　某地區(qū)在退耕還林期間，將一塊長m米、寬a米的長方形林區(qū)的長、寬分別增加n米和b米，用兩種方法表示這塊林區(qū)現(xiàn)在的面積。

　　這塊林區(qū)現(xiàn)在的長為米，寬為米。因而面積為________米2。

　　還可以把這塊林地分為四小塊，它們的面積分別為米2，米2，_______米2，米2。故這塊地的面積為。

　　由于這兩個(gè)算式表示的都是同一塊地的面積，則有 =

　　如果把（m+n）看作一個(gè)整體，你還能用別的方法得到這個(gè)等式嗎？

　　2、概括：

　　多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則：

　　3、計(jì)算

　�。�1）（2）

　　4、練一練

　　（1）

　�。ǘ┖献鞴リP(guān)

　　1、某酒店的廚房進(jìn)行改造，在廚房的中間設(shè)計(jì)一個(gè)準(zhǔn)備臺，要求四面的過道寬都為x米，已知廚房的長寬分別為8米和5米，用代數(shù)式表示該廚房過道的總面積。

　　2、解方程

　�。ㄈ┻_(dá)標(biāo)訓(xùn)練

　　1、填空題：

　�。�1） = =

　　（2） = 。

　　2、計(jì)算

　�。�1）（2）

　�。�3） (4)

　　（四）提升

　　1、怎樣進(jìn)行多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算？

　　2、若的乘積中不含和項(xiàng)，則a= b=

　　應(yīng)用題

　　第三十五講應(yīng)用題

　　在本講中將介紹各類應(yīng)用題的解法與技巧．

　　當(dāng)今數(shù)學(xué)已經(jīng)滲入到整個(gè)社會的各個(gè)領(lǐng)域，因此，應(yīng)用數(shù)學(xué)去觀察、分析日常生活現(xiàn)象，去解決日常生活問題，成為各類數(shù)學(xué)競賽的一個(gè)熱點(diǎn)．

　　應(yīng)用性問題能引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心生活、關(guān)心社會，使學(xué)生充分到數(shù)學(xué)與自然和人類社會的密切聯(lián)系，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心．

　　解答應(yīng)用性問題，關(guān)鍵是要學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去觀察、分析、概括所給的實(shí)際問題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型．其求解程序如下：

　　在初中范圍內(nèi)常見的數(shù)學(xué)模型有：數(shù)式模型、方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、平面幾何模型、圖表模型等．

　　例題求解

　　一、用數(shù)式模型解決應(yīng)用題

　　數(shù)與式是最基本的數(shù)學(xué)語言，由于它能夠有效、簡捷、準(zhǔn)確地揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，富有通用性和啟發(fā)性，因而成為描述和表達(dá)數(shù)學(xué)問題的重要方法．

　　【例1】(20xx年安徽中考題)某風(fēng)景區(qū)對5個(gè)旅游景點(diǎn)的門票價(jià)格進(jìn)行了調(diào)整，據(jù)統(tǒng)計(jì)，調(diào)價(jià)前后各景點(diǎn)的游客人數(shù)基本不變。有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

　　景點(diǎn)ABCDE

　　原價(jià)（元）1010152025

　　現(xiàn)價(jià)（元）55152530

　　平均日人數(shù)（千人）11232

　�。�1）該風(fēng)景區(qū)稱調(diào)整前后這5個(gè)景點(diǎn)門票的平均收費(fèi)不變，平均日總收入持平。問風(fēng)景區(qū)是怎樣計(jì)算的？

　　（2）另一方面，游客認(rèn)為調(diào)整收費(fèi)后風(fēng)景區(qū)的平均日總收入相對于調(diào)價(jià)前，實(shí)際上增加了約9.4%。問游客是怎樣計(jì)算的？

　�。�3）你認(rèn)為風(fēng)景區(qū)和游客哪一個(gè)的說法較能反映整體實(shí)際？

　　思路點(diǎn)撥（1）風(fēng)景區(qū)是這樣計(jì)算的：

　　調(diào)整前的平均價(jià)格：，設(shè)整后的平均價(jià)格：

　　∵調(diào)整前后的平均價(jià)格不變，平均日人數(shù)不變．

　　∴平均日總收入持平．

　　（ 2）游客是這樣計(jì)算的：

　　原平均日總收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）

　　現(xiàn)平均日總收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）

　　∴平均日總收入增加了

　�。�3）游客的說法較能反映整體實(shí)際．

　　二、用方程模型解應(yīng)用題

　　研究和解決生產(chǎn)實(shí)際和現(xiàn)實(shí)生恬中有關(guān)問題常常要用到方程<組)的知識，它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系的角度去認(rèn)識和理解現(xiàn)實(shí)世界．

　　【例2】 (重慶中考題)某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，進(jìn)出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同．安全檢查中，對4道門進(jìn)行了測試：當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和兩道側(cè)門時(shí)，2min內(nèi)可以通過560名學(xué)生；當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和一道側(cè)門時(shí)，4mln內(nèi)可以通過800名學(xué)生．

　　(1)求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學(xué)生?

　　(2)檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時(shí)因?qū)W生擁擠，出門的效率降低20％．安全檢查規(guī)定：在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5min內(nèi)通過這4道門安全撤離．假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問：建造的這4道門整否符合安全規(guī)定?請說明理由．

　　思路點(diǎn)撥列方程(組)的關(guān)鍵是找到題中等量關(guān)系：兩種測試中通過的學(xué)生數(shù)量．設(shè)未知數(shù)時(shí)一般問什么設(shè)什么．“符合安全規(guī)定”之義為最大通過量不小于學(xué)生總數(shù)．

　　(1)設(shè)平均每分鐘一道正門可以通過x名學(xué)生，一道側(cè)門可以通過y名學(xué)生，由題意得：

　　,解得：

　　(2)這棟樓最多有學(xué)生4×8×4 5=1440(名)．

　　擁擠時(shí)5min4道門能通過．

　　5×2(120+80)(1－20％)=1600(名),

　　因1600>1440，故建造的4道門符合安全規(guī)定．

　　三、用不等式模型解應(yīng)用題

　　現(xiàn)實(shí)世界中的不等關(guān)系是普遍存在的，許多問題有時(shí)并不需要研究它們之間的相等關(guān)系，只需要確定某個(gè)量的變化范圍，即可對所研究的問題有比較清楚的認(rèn)識．

　　【例3】 (蘇州中考題)我國東南沿海某地的風(fēng)力資源豐富，一年內(nèi)月平均的風(fēng)速不小于3m／s的時(shí)間共約160天，其中日平均風(fēng)速不小于6m／s的時(shí)間占60天．為了充分利用“風(fēng)能”這種“綠色資源”，該地?cái)M建一個(gè)小型風(fēng)力發(fā)電場，決定選用A、B兩種型號的風(fēng)力發(fā)電機(jī)，根據(jù)產(chǎn)品說明，這兩種風(fēng)力發(fā)電機(jī)在各種風(fēng)速下的日發(fā)電量(即一天的發(fā)電量)如下表：一天的發(fā)電量)如下表：

　　日平均風(fēng)速v(米/秒)v<33≤v<6v≥6

　　日發(fā)電量 (千瓦?時(shí))A型發(fā)電機(jī)O≥36≥150

　　B型發(fā)電機(jī)O≥24≥90

　　根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：

　　(1)若這個(gè)發(fā)電場購x臺A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)，則預(yù)計(jì)這些A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)一年的發(fā)電總量至少為千瓦?時(shí)；

　　(2)已知A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)每臺O.3萬元，B型風(fēng)力發(fā)電機(jī)每臺O.2萬元．該發(fā)電場擬購置風(fēng)力發(fā)電機(jī)共10臺，希望購機(jī)的費(fèi)用不超過2.6萬元，而建成的風(fēng)力發(fā)電場每年的發(fā)電總量不少于102000千瓦?時(shí)，請你提供符合條件的購機(jī)方案．

　　根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：

　　思路點(diǎn)撥 (1) (100×36+60×150)x=12600x；

　　(2)設(shè)購A型發(fā)電機(jī)x臺，則購B型發(fā)電機(jī)(10—x)臺,

　　解法一根據(jù)題意得：

　　解得5≤x ≤6．

　　故可購A型發(fā)電機(jī)5臺，B型發(fā)電機(jī)5臺；或購A型發(fā)電機(jī)6臺，B型發(fā)電視4臺．

　　四、用函數(shù)知識解決的應(yīng)用題

　　函數(shù)類應(yīng)用問題主要有以下兩種類型：(1)從實(shí)際問題出發(fā)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立函數(shù)關(guān)系；(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函數(shù)關(guān)系式．

　　【例4】 (揚(yáng)州)楊嫂在再就業(yè)中心的扶持下，創(chuàng)辦了“潤楊”報(bào)刊零售點(diǎn)．對經(jīng)營的某種晚報(bào)，楊嫂提供丁如下信息：

　�、儋I進(jìn)每份0.20元，賣出每份0.30元；

　　②一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))，有20天每天可以賣出200份，其余10天每天只能賣出120份；

　�、垡粋€(gè)月內(nèi)，每天從報(bào)社買進(jìn)的報(bào)紙份數(shù)必須相同．當(dāng)天賣不掉的報(bào)紙，以每份0.10元退回給報(bào)社；

　　(1)填表：

　　一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn)該種晚報(bào)的份數(shù)100150

　　當(dāng)月利潤(單位：元)

　　(2)設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)該種晚報(bào)x份，120≤x≤200時(shí)，月利潤為y元，試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求月利潤的最大值．

　　思路點(diǎn)撥(1)填表：

　　一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn)該種晚報(bào)的份數(shù)100150

　　當(dāng)月利潤(單位：元)300390

　　(2)由題意可知，一個(gè)月內(nèi)的20天可獲利潤：

　　20×=2x(元)；其余10天可獲利潤：

　　10=240—x(元)；

　　故y=x+240，(120≤x≤200)，當(dāng)x=200時(shí)，月利潤y的最大值為440元．

　　注根據(jù)題意，正確列出函數(shù)關(guān)系式，是解決問題的關(guān)鍵，這里特別要注意自變量x的取值范圍．

　　另外，初三還會提及統(tǒng)計(jì)型應(yīng)用題，幾何型應(yīng)用題．

　　【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)做，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用10天完成．

　�。�1）求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的天數(shù)．

　　(2)如果請甲工程隊(duì)施工，公司每日需付費(fèi)用200 0元；如果請乙工程隊(duì)施工，公司每日需付費(fèi)用1400元．在規(guī)定時(shí)間內(nèi)：A．請甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程；B．請乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程； C．請甲、乙兩隊(duì)合作完成此項(xiàng)工程．以上方案哪一種花錢最少?

　　思路點(diǎn)撥這是一道策略優(yōu)選問題．工程問題中：工作量=工作效率×工時(shí)．

　　(1)設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，根據(jù)題意得：

　　, x=30合題意，

　　所以，甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需用20天，乙隊(duì)需30天．

　　(2)各種方案所需的費(fèi)用分別為：

　　A．請甲隊(duì)需20xx×20=40000元；

　　B．請乙隊(duì)需1400×30=4200元；

　　C．請甲、乙兩隊(duì)合作需(20xx+1400)×12=40800元．

　　所隊(duì)單獨(dú)請甲隊(duì)完成此項(xiàng)工程花錢最少．

　　【例6】 (2全國聯(lián)賽初賽題)一支科學(xué)考察隊(duì)前往某條河流的上游去考察一個(gè)生態(tài)區(qū)，他們以每天17km的速度出發(fā)，沿河岸向上游行進(jìn)若干天后到達(dá)目的地，然后在生態(tài)區(qū)考察了若干天，完成任務(wù)后以每天25km的速度返回，在出發(fā)后的第60天，考察隊(duì)行進(jìn)了24km后回到出發(fā)點(diǎn)，試問：科學(xué)考察隊(duì)的生態(tài)區(qū)考察了多少天?

　　思路點(diǎn)撥挖掘題目中隱藏條件是關(guān)鍵!

　　設(shè)考察隊(duì)到生態(tài)區(qū)去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，則x+y+z=60，

　　17x－25y=－1，即25y－17x=1． ①

　　這里x、y是正整數(shù)，現(xiàn)設(shè) 法求出①的一組合題意的解，然后計(jì)算出z的值．

　　為此，先求出①的一組特殊解(x0，y0)，(這里x0，y0可以是負(fù)整數(shù))．用輾轉(zhuǎn)相除法．

　　25=l ×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25．

　　與①的左端比較可知，x0 =－3，y0=－2．

　　下面再求出①的合題意的解．

　　由不定方程的知識可知，①的一切整數(shù)解可表示為x=－3+25t，y=－2+17t，

　　∴ x+y=42t－5，t為整數(shù)．按題意0

　　∴z=60—(x+y)=23．

　　答：考察隊(duì)在生態(tài)區(qū)考察的天數(shù)是23天．

　　注本題涉及到的未知量多，最終轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程來解，希讀者仔細(xì)咀嚼所用方法．

　　【例7】 (江蘇省第17屆初中競賽題)華鑫超市對顧客實(shí)行優(yōu)惠購物，規(guī)定如下：

　　(1)若一次購物少于200元，則不予優(yōu)惠；

　　(2)若一次購物滿200元，但不超過500元，按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠；

　　(3)若一次購物超過500元，其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過500元部分給予八折優(yōu)惠．

　　小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元．現(xiàn)在小亮決定一次去購買小明分兩次購買的同樣多的物品，他需付款多少?

　　思路點(diǎn)撥應(yīng)付198元購物款討論：

　　第一次付款198元，可是所購物品的實(shí)價(jià)，未享受優(yōu)惠；也可能是按九折優(yōu)惠后所付的款．故應(yīng)分兩種情況加以討論．

　　情形1 當(dāng)198元為購物不打折付的錢時(shí)，所購物品的原價(jià)為198元．

　　又554=450+104，其中450元為購物500元打九折付的錢，104元為購物打八折付的錢；104÷0. 8 =130(元)．

　　因此，554元所購物品的原價(jià)為130+500=630(元)，于是購買小呀花198 +630=828(元)所購的全部物品，小亮一次性購買應(yīng)付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）．

　　情形2 當(dāng)198元為購物打九折付的錢時(shí)，所購物品的原價(jià)為198 ÷0.9=220(元) ．仿情形1的討論，，購220+630=850{元}物品一次性付款應(yīng)為500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)．

　　綜上所述，小亮一次去超市購買小明已購的同樣多的物品，應(yīng)付款712.40元或730元

　　【例8】 (20xx年全國數(shù)學(xué)競賽題)某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，2 天完成，需180000元；由乙、丙兩隊(duì)承包，3 天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊(duì)承包，2 天完成，需付160000元．現(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)隊(duì)承包費(fèi)用最少?

　　思路點(diǎn)撥關(guān)鍵問題是甲、乙、丙單獨(dú)做各需的天數(shù)及獨(dú)做時(shí)各方日付工資．分兩個(gè)層次考慮：

　　設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)承包各需x、y、z天完成．

　　則，解得

　　再設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)工作一天，各需付u、v、w元，

　　則，解得

　　于是，由甲隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是45500×4=182000 (元)．

　　由乙隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是29500×6= 177000 (元)．

　　而丙隊(duì)不能在一周內(nèi)完成．所以由乙隊(duì)承包費(fèi)用最少．

　　學(xué)歷訓(xùn)練

　�。ˋ級）

　　1．(河南)在防治“SARS”的戰(zhàn)役中，為防止疫情擴(kuò)散，某制藥廠接到了生產(chǎn)240箱過氧乙酸消毒液的任務(wù)．在生產(chǎn)了60箱后，需要加快生產(chǎn)，每天比原來多生產(chǎn)15箱，結(jié)果6天就完成了任務(wù)．求加快速度后每天生產(chǎn)多少箱消毒液?

　　2．(山東省競賽題)某市為鼓勵(lì)節(jié)約用水，對自來水妁收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定：每月每戶用水中不超過10t部分按0.45元／噸收費(fèi)；超過10t而不超過20t部分按每噸0.8元收費(fèi)；超過20t部分按每噸1.50元收費(fèi)，某月甲戶比乙戶多繳水費(fèi)7.10元，乙戶比丙戶多繳水費(fèi)3.75元，問甲、乙、丙該月各繳水費(fèi)多少?(自來水按整噸收費(fèi))

　　3．(江蘇省競賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數(shù)學(xué)題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題．試問：難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題?

　　4．某人從A地到B地乘坐出租車有兩種方案，一種出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)10元，每千米1.2元；另一種出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)8元，每千米1.4元，問選擇哪一種出租車比較合適?

　　(提示：根據(jù)目前出租車管理?xiàng)l例，車型不同，起步價(jià)可以不同，但起步價(jià)的最大行駛里程是相同的，且此里程內(nèi)只收起步價(jià)而不管其行駛里程是多少)

　　（B級）

　　1．(全國初中數(shù)學(xué)競賽題)江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺抽水機(jī)抽水，40min可抽完；如果用4臺抽水機(jī)抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水機(jī) 臺．

　　2．(希望杯)有一批影碟機(jī)(VCD)原售價(jià)：800元／臺．甲商場用如下辦法促銷：

　　購買臺數(shù)1~5臺6~10臺11~15臺16~20臺20臺以上

　　每臺價(jià)格760元720元680元640元600元

　　乙商場用如下辦法促銷：每次購買1~8臺，每臺打九折；每次購買9~16臺，每臺打八五折；每次購買17~24臺，每臺打八折；每次購買24臺以上，每臺打七五折．

　�。�1）請仿照甲商場的促銷列表，列出到乙商場購買VCD的購買臺數(shù)與每臺價(jià)格的對照表；

　　(2)現(xiàn)在有A、B、C三個(gè)單位，且單位要買10臺VCD，B單位要買16臺VCD，C單位要買20臺VCD，問他們到哪家商場購買花費(fèi)較少?

　　3．(河北創(chuàng)新與知識應(yīng)用競賽題)某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數(shù)為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣．請你據(jù)此設(shè)計(jì)兌換方案．

　　4．從自動(dòng)扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛)，如果男孩和女孩都做勻速運(yùn)動(dòng)且男孩每分鐘走動(dòng)的級數(shù)是女孩的兩倍，已知男孩走了27級到達(dá)扶梯頂部，而女孩走了18級到達(dá)扶梯頂部(設(shè)男孩、女孩每次只踏—級)．問：

　　(1)扶梯露在外面的部分有多少級?

　　(2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯，樓梯的級數(shù)和扶梯的級數(shù)相等，兩孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時(shí)走了多少級臺階?

　　5．某化肥廠庫存三種不同的混合肥，第一種含磷60％，鉀40％，第二種含鉀10％，氮90％；第三種含鉀50％，磷20％，氮30％，現(xiàn)將三種肥混合成含氮45％的混合肥100?(每種肥都必須取)，試問在這三種不同混合肥的不同取量中，新混合肥含鉀的取值范圍．

　　6．(黃岡競賽題)有麥田5塊A、B、C、D、E，它們的產(chǎn)量，(單位：噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示，要建一座永久性打麥場，這5塊麥田生產(chǎn)的麥子都在此打場．問建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運(yùn)輸量最小?圖中圓圈內(nèi)的數(shù)字為產(chǎn)量，直線段上的字母a、b、d表示距離，且b < a

　　多邊形的邊角與對角線

　　j.Co M

　　第十四講多邊形的邊角與對角線

　　邊、角、對角線是多邊形中最基本的概念，求多邊形的邊數(shù) 、內(nèi)外角度數(shù)、對角線條數(shù)是解與多邊形相關(guān)的基本問題，常用到三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)、外角和定理、不等式、方程等知識．

　　多邊形的內(nèi)角和定理反映出一定的規(guī)律性：(n－2)×180°隨n的變化而變化；而多邊形的外角和定理反映出更本質(zhì)的規(guī)律；360°是一個(gè)常數(shù)，把內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題，以靜制動(dòng)是解多邊形有關(guān)問題的常用技巧．

　　將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來處理是解多邊形問題的基本策略，連對角線或向外補(bǔ)形、對內(nèi)分割是轉(zhuǎn)化的常用方法，從凸邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對角線把凸邊形分成個(gè)多角形，凸n邊形一共可引出對角線．

　　例題求解

　　【例1】在一個(gè)多邊形中，除了兩個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為20xx°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是．

　　(江蘇省競賽題)

　　思路點(diǎn)撥設(shè)除去的角為°，y°，多邊形的邊數(shù) 為，可建立關(guān)于x、y的不定方程；又0°

　　鏈接世界上的萬事萬物是一個(gè)不斷地聚合和分裂的過程，點(diǎn)是幾何學(xué)最原始的概念，點(diǎn)生線、線生面、面生體，幾何元素的聚合不斷產(chǎn)生新的圖形，另一方面，不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形，發(fā)現(xiàn)新的幾何性質(zhì)，多邊形可分成三角形，三角形可以合成其他

　　一些幾何圖形．

　　【例2】在凸10邊形的所有內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)最多是( )

　　A．0 B．1 C．3 D．5

　　(全國初中數(shù)學(xué)競賽題)

　　思路點(diǎn)撥多邊形的內(nèi)角和是隨著多邊形的邊數(shù)變化而變化的，而外角和卻總是不變的，因此，可把內(nèi)角為銳角的個(gè)數(shù)討論轉(zhuǎn)化為外角為鈍角的個(gè)數(shù)的探討．

　　【例3】如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4，若將此三角形沿AD剪開成為兩個(gè)三角形，在平面上把這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)四邊形，你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫出所拼四邊形的示意圖(標(biāo)出圖中直角)，并分別寫出所拼四邊形的對角線的長．

　　(烏魯木齊市中考題)

　　思路點(diǎn)撥把動(dòng)手操作與合情想象相結(jié)合，解題的關(guān)鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對角線有不同情形．

　　注教學(xué)建模是當(dāng)今教學(xué)教育、考試改革最熱門的一個(gè)話題，簡單地說，“數(shù)學(xué)建�！本褪峭ㄟ^數(shù)學(xué)化(引元、畫圖等)把實(shí)際問題特化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，再運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識方法(模型)解決問題．

　　本例通過設(shè)元，把“沒有重疊、沒有空隙”轉(zhuǎn)譯成等式，通過不定方程求解．

　　【例4】在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌)，這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角(360°)時(shí)，就拼成了一個(gè)平面圖形．

　　(1)請根據(jù)下列圖形，填寫表中空格：

　　(2)如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形?

　　(3)從正三角形、正四邊形，正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個(gè)平面圖形(草圖)；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形?說明你的理由．

　　(陜西省中考題)

　　思路點(diǎn)撥本例主要研究兩個(gè)問題：①如果限用一種正多邊形鑲嵌，可選哪些正多邊形；②選用兩種正多邊形鑲嵌，既具有開放性，又具有探索性．假定正n邊形滿足鋪砌要求，那么在它的頂點(diǎn)接合的地方，n個(gè)內(nèi)角的和為360°，這樣，將問題的討論轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解．

　　【例5】如圖，五邊形ABCDE的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個(gè)單位，得到新的五邊形A'B'C'D'E'．

　�。�1）圖中5塊陰影部分即四邊形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一個(gè)五邊形嗎?說明理由．

　　(2)證明五邊形A'B'C'D'E'的周長比五邊形ABCD正的周長至少增加25個(gè)單位．

　　(江蘇省競賽題)

　　思路點(diǎn)撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個(gè)五邊形須滿足條件：，A'GB'； B'PC'； C'ND'；D'LE'；E'IA'三點(diǎn)分別共線；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周長等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I，用圓的周長逼近估算．

　　1．如圖，用硬紙片剪一個(gè)長為16cm、寬為12cm的長方形，再沿對角線把它分成兩個(gè)三角形，用這兩個(gè)三角形可拼出各種三角形和四邊形來，其中周長最大的是 ?，周長最小的是 cm．

　　(選6《莢國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》)

　　2．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ．

　　3．如圖，ABCD是凸四邊形，AB=2，BC=4，CD=7，則線段AD的取值范圍是．

　　4．用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律，拼成若干個(gè)圖案：

　　(1)第4個(gè)圖案中有白色地面磚塊；

　　(2)第n個(gè)圖案中有白色地面磚塊．

　　(江西省中考題)

　　5．凸n邊形中有且僅有兩個(gè)內(nèi)角為鈍角，則n的最大值是( )

　　A．4 B．5 C． 6 D．7

　　( “希望杯”邀請賽試題)

　　6．一個(gè)凸多邊形的每一內(nèi)角都等于140°，那么，從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)是( )

　　A．9條 B．8條 C．7條 D． 6條

　　7．有一個(gè)邊長為4m的正六邊形客廳，用邊長為50cm的正三角形瓷磚鋪滿，則需要這種瓷磚( )

　　A．216塊 B．288塊 C．384塊 D．512塊

　　( “希望杯”邀請賽試題)

　　8．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，△ACD是一個(gè)含有30°角的直角三角形，現(xiàn)將△ABC和△ACD拼成一個(gè)凸四邊形ABCD．

　�。�1）)畫出四邊形ABCD；

　　(2)求出四邊形ABCD的對角線BD的長．

　　(上海市閔行區(qū)中考題)

　　9．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC=90°，∠BCD＝150°，求∠BAD的度數(shù)．

　　(北京市競賽題)

　　10．如圖，在五邊形A1A2A3A4A5中，Bl是A1的對邊A3A4的中點(diǎn)，連結(jié)A1B1，我們稱A1B1是這個(gè)五邊形的一條中對線，如果五邊形的每條中對線都將五邊形的面積分成相等的兩部分，求證：五邊形的每條邊都有一條對角線和它平行．

　　(安徽省中考題)

　　11．如圖，凸四邊形有個(gè)；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ．

　　(重慶市競賽題)

　　12．如圖，延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個(gè)角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它們的`和等于；若延長凸n邊形(n≥5)的各邊相交，則得到的n個(gè)角的和等于．

　　( “希望杯”邀請賽試題)

　　13．設(shè)有一個(gè)邊長為1的正三角形，記作A1(圖a)，將每條邊三等分，在中間的線段上向外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A 2(圖b)，再將每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A3(圖c)；再將每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A4，那么，A4的周長是；A4這個(gè)多邊形的面積是原三角形面積的倍．

　　(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

　　14．如圖，六邊形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，F(xiàn)A—CD=3，則BC+DC= ． (北京市競賽題)

　　15．在一個(gè)n邊形中，除了一個(gè)內(nèi)角外，其余(n一1)個(gè)內(nèi)角的和為2750°，則這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為( )

　　A．130° D．140° C ．105° D．120°

　　16．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=2 ，AC=6，AD=3，則CD的長為( )

　　A．4 B．4 C．3 D． 3 (江蘇省競賽題)

　　注按題中的方法'不斷地做下去，就會成為下圖那樣的圖形，它的邊界有一個(gè)美麗的名稱——雪花曲線或科克曲線(瑞典數(shù)學(xué)家)，這類圖形稱為“分形”，大量的物理、生物與數(shù)學(xué)現(xiàn)象都導(dǎo)致分形，分形是新興學(xué)科“混沌”的重要分支．

　　17．如圖，設(shè)∠CGE=α，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( )

　　A．360°一α B．270°一αC．180°+α D．2α

　　(山東省競賽題)

　　18．平面上有A、B，C、D四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在一直線上，求證：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角不超過45°．

　　19．一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果用較小的相同正方形地磚，那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知n及地磚的邊長都是整數(shù)，求n． (上海市競賽題)

　　20．如圖，凸八邊形ABCDEFGH的8 個(gè)內(nèi)角都相等，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長分別為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長．

　　21．如圖l是一張可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開后支撐起來放在地面上的情況，如果折疊起來，床頭部分被折到了床面之下(這里的A、B、C、D各點(diǎn)都是活動(dòng)的)，活動(dòng)床頭是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性設(shè)計(jì)而成的，其折疊過程可由圖2的變換反映出來．

　　如果已知四邊形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多長時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)上述的折疊變化?

　　(淄博市中考題)

　　22．一個(gè)凸n邊形由若干個(gè)邊長為1的正方形或正三角形無重疊、無間隙地拼成，求此凸n邊形各個(gè)內(nèi)角的大小，并畫出這樣的凸n邊形的草圖．

　　圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

　　前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家亞格龍將幾何學(xué)定義為：幾何學(xué)是研究幾何圖形在運(yùn)動(dòng)中不變的那些性質(zhì)的學(xué)科．

　　幾何變換是指把一個(gè)幾何圖形Fl變換成另一個(gè)幾何圖形F2的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、旋轉(zhuǎn)是常見的合同變換．

　　如圖1，若把平面圖形Fl上的各點(diǎn)按一定方向移動(dòng)一定距離得到圖形F2后，則由的變換叫平移變換．

　　平移前后的圖形全等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．

　　如圖2，若把平面圖Fl繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到圖形F2，則由Fl到F2的變換叫旋轉(zhuǎn)變換，其中定點(diǎn)叫旋轉(zhuǎn)中心，定角叫旋轉(zhuǎn)角．

　　旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．

　　通過平移或旋轉(zhuǎn)，把部分圖形搬到新的位置，使問題的條件相對集中，從而使條件與待求結(jié)論之間的關(guān)系明朗化，促使問題的解決．

　　注合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換．等積變換，只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換，只保留線段間的比例關(guān)系，而線段本身的大小要改變．

　　例題求解

　　【例1】如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA：PB：PC＝1：2：3，則∠APD= ．

　　思路點(diǎn)撥通過旋轉(zhuǎn)，把PA、PB、PC或關(guān)聯(lián)的線段集中到同一個(gè)三角形．

　　【例2】如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M，N，使∠MCN=45°，記AM＝m，MN= x，DN=n，則以線段x、m、n為邊長的三角形的形狀是( )

　　A．銳角三角形 B．直角三角形

　　C．鈍角三角形 D．隨x、m、n的變化而改變

　　思路點(diǎn)撥把△ACN繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個(gè)與∠MCN相等的角，在一條直線上的m、 x、n 集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可．

　　注下列情形，常實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換：

　　(1)圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形，把旋轉(zhuǎn)角分別定為60°、90°；

　　(2)圖形中有線段的中點(diǎn)，將圖形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造中心對稱全等三角形；

　　(3)圖形中出現(xiàn)有公共端點(diǎn)的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合．

　　【例3】如圖，六邊形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，對邊之差BC－EF＝ED?AB＝AF?CD>0，求證：該六邊形的各角相等．

　　(全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題)

　　思路點(diǎn)撥設(shè)法將復(fù)雜的條件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一個(gè)基本圖形表示，題設(shè)中有平行條件，可考慮實(shí)施平移變換．

　　注平移變換常與平行線相關(guān)，往往要用到平行四邊形的性質(zhì)，平移變換可將角，線段移到適當(dāng)?shù)奈恢�，使分散的條件相對集中，促使問題的解決．

　　【例4】如圖，在等腰△ABC的兩腰AB、AC上分別取點(diǎn)E和F，使AE=CF．已知BC=2，求證：EF≥1． (西安市競賽題)

　　思路點(diǎn)撥本例實(shí)際上就是證明2EF≥BC，不便直接證明，通過平移把BC與EF集中到同一個(gè)三角形中．

　　注三角形中的不等關(guān)系，涉及到以下基本知識：

　　(1)兩點(diǎn)間線段最短，垂線段最短；

　　(2)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

　　(3)同一個(gè)三角形中大邊對大角(大角對大邊)，三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．

　　【例5】如圖，等邊△ABC的邊長為，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的長． (“希望杯”邀請賽試題)

　　思路點(diǎn)撥題設(shè)條件滿足勾股關(guān)系PA2+PB2＝PC2的三邊PA、PB、PC不構(gòu)成三角形，不能直接應(yīng)用，通過旋轉(zhuǎn)變換使其集中到一個(gè)三角形中，這是解本例的關(guān) 鍵．

　　學(xué)歷訓(xùn)練

　　1．如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)將△ABP繞點(diǎn)B顧時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)能與△CBP′重合，若PB=3，則PP′= ．

　　2．如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝6，PB=8，PC＝10，則∠APB ．

　　3．如圖，四邊形ABC D中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，則CD的長為．

　　4．如圖，把△ABC沿AB邊平移到△A'B'C'的位置，它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半，若AB= ，則此三角形移動(dòng)的距離AA'是( )

　　A． B． C．l D． (20xx年荊州市中考題)

　　5．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)C、F，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF= S△ABC；④EF=AP．

　　當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合)，上述結(jié)論中始終正確的有( )

　　A．1個(gè) B．2個(gè) C ．3個(gè) D．4個(gè)

　　(20xx年江蘇省蘇州市中考題)

　　6．如圖，在四邊形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四邊形ABCD d=8，則BE的長為( )

　　A．2 B．3 C ． D． (20xx年武漢市選拔賽試題)

　　7．如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為和，對角線BD、FH都在直線上，O1、O2分別為正方形的中心，線段O1O2的長叫做兩個(gè)正方形的中心距，當(dāng)中心O2在直線上平移時(shí)，正方形EFGH也隨之平移，在平移時(shí)正方形EFGH的形狀、大小沒有變化．

　　(1)計(jì)算：O1D= ，O2F= ；

　　(2)當(dāng)中心O2在直線上平移到兩個(gè)正方形只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，中心距O1O2= ；

　　(3)隨著中心O2在直線上平移，兩個(gè)正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)還有哪些變化?并求出相對應(yīng)的中心距的值或取值范圍(不必寫出計(jì)算過程)． (徐州市中考題)

　　8．圖形的操做過程（本題中四個(gè)矩形的水平方向的邊長均為a，豎直方向的邊長均為b）：

　　在圖a中，將線段A1A2向右平移1個(gè)單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2（即陰影部分）；

　　在圖b中，將折線A1A2A3向右平移1個(gè)單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3（即陰影部分）；

　　（1）在圖c中,請你類似地畫一條有兩個(gè)折點(diǎn)的折線,同樣向右平移1個(gè)單位,從而得到一個(gè)封閉圖形,并用斜線畫出陰影；

　　（2）請你分別寫出上述三個(gè)圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：S1= ，,S2= ，S3= ；

　�。�3）聯(lián)想與探索：

　　如圖d，在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個(gè)單位），請你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說明你的猜想是正確的．

　　(20xx年河北省中考題)

　　9．如圖，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN是等邊三角形，求證：AN＝BM．

　　說明及要求：本題是《幾何》第二冊幾15中第13題，現(xiàn)要求：

　　(1)將△ACM繞C點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，使A點(diǎn)落在CB上，請對照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形(不寫作法，保留作圖痕跡)．

　　(2)在①所得的圖形中，結(jié)論“AN＝BM”是否還成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

　　(3)在①得到的圖形中，設(shè)MA的延長線與BN相交于D點(diǎn)，請你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀，并證明你的結(jié)論．

　　10．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜邊BC上距離B點(diǎn)3cm的點(diǎn)P為中心，把這個(gè)三角形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，則旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)直角三角形重疊部分的面積是 cm2．

　　11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，點(diǎn)E在DC上，AE、BC的延長線交于點(diǎn)F，若AE=10，則S△ADE+S△CEF的值是．

　　(紹興市中考題)

　　12．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系是( )

　　A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PCC． PA+PB+PC＝AB+AC D．無法確定

　　13．如圖，設(shè)P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離分別為2、3，則PC所能達(dá)到的最大值為( )

　　A． B． C ．5 D．6

　　(20xx年武漢市選拔賽試題)

　　14．如圖，已知△ABC中，AB=AC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC 延長線上一點(diǎn)，BD=CE，連DE，求證：DE>DC．

　　15．如圖，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA、PB、PC的長為正整數(shù)，且PA2+PB2=PC2，設(shè)PA=m，n為大于5的實(shí)數(shù)，滿，求△ABC的面積．

　　16．如圖，五羊大學(xué)建立分校，校本部與分校隔著兩條平行的小河， ∥ 表示小河甲， ∥ 表示小河乙，A為校本部大門，B為分校大門，為方便人員來往，要在兩條小河上各建一座橋，橋面垂直于河岸．圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河垂直距離為40米，B到乙河垂直距離為20米，兩河距離100米，A、B兩點(diǎn)水平距離(與小河平行方向)120米，為使A、B兩點(diǎn)間來往路程最短，兩座橋都按這個(gè)目標(biāo)而建，那么，此時(shí)A、D兩點(diǎn)間來往的路程是多少米? (“五羊杯”競賽題)

　　17．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)O到△ABC各邊的距離都等于1，將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得△A1BlC1 ，兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ．

　　(1)證明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形；

　　(2)求△ABC與△A1BlC1公共部分的面積． (山東省競賽題)

　　18．(1)操作與證明：如圖1，O是邊長為a的正方形ACBD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值．

　　(2)嘗試與思考：如圖2，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正三角形或正五邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)扇形紙板的圓心角為時(shí)，正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a；當(dāng)扇形紙板的圓心角為時(shí)，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度也為定值a．

　　(3)探究與引申：一般地，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．當(dāng)扇形紙板的圓心角為時(shí)，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a；這時(shí)正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值?若為定值，寫出它與正n邊形面積S之間的關(guān)系；若不是定值，請說明理由．

平行四邊形教案篇4

　　一、教學(xué)內(nèi)容：P72

　　二、教學(xué)目標(biāo)：

　　1、引導(dǎo)學(xué)生直觀地認(rèn)識平行四邊形。

　　2、培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作和實(shí)踐能力。

　　三、教學(xué)準(zhǔn)備：

　　長方形框架、七巧板

　　四、教學(xué)過程：

　�。ㄒ唬⿵�(fù)習(xí)導(dǎo)入

　�。ǘ┨剿餍轮�

　　1、做一做

　�。�1）教師演示：出示長方形框架

　　這是什么圖形，然后拉動(dòng)，變成新形狀。提示學(xué)生認(rèn)真觀察。

　�。�2）學(xué)生動(dòng)手操作，做一做。

　�。�3）認(rèn)識平行四邊形

　　A、認(rèn)識平行四邊形實(shí)物（觀察新圖形）

　　B、認(rèn)識平行四邊形平面圖

　　2、想一想

　　平行四邊形與長方形的聯(lián)系：對邊相等，四個(gè)角不是直角，有的'是銳角，有的是直角。

　　3、說一說

　　說一說平時(shí)見到的平行四邊形

　　4、畫一畫

　　5、拼一拼（用七巧板）

　�。ㄈ┤n

　　今天我們學(xué)習(xí)了什么知識，用什么方法認(rèn)識平行四邊形。

　�。ㄋ模┳鳂I(yè)

　　在現(xiàn)實(shí)中尋找平行四邊形

平行四邊形教案篇5

　　教材分析

　　1、課標(biāo)分析：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：“要讓學(xué)生在參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在具體情境中初步認(rèn)識對象的特征，獲得一些體驗(yàn)�！彼^體驗(yàn)，從教育的角度看，是一種親歷親為的活動(dòng)，是一種積極參與活動(dòng)的學(xué)習(xí)方式。本節(jié)課的設(shè)計(jì)充分利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，把這一學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)成實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生在自主探究合作學(xué)習(xí)中理解平行四邊形面積的計(jì)算公式，并了解平行四邊形與其他幾種圖形間的關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，感受成功的喜悅，增強(qiáng)信心，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，與他人合作的態(tài)度以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

　　2、教材分析：《平行四邊形的面積》是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材五年級上冊第五單元第一課時(shí)的內(nèi)容。該內(nèi)容是在學(xué)生已學(xué)會長方形、正方形的面積計(jì)算，已掌握平行四邊形的特征，會畫平行四邊形的底和對應(yīng)的高的基礎(chǔ)上教學(xué)的。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能為學(xué)生推導(dǎo)三角形、梯形面積的計(jì)算公式提供方法遷移，同時(shí)也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)立體圖形的表面積做了準(zhǔn)備。由于學(xué)生已掌握了長方形的面積計(jì)算公式，所以當(dāng)學(xué)生掌握了割補(bǔ)法，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形之后，平行四邊形面積的計(jì)算公式就自然而然的產(chǎn)生了。本節(jié)課的教學(xué)不僅培養(yǎng)了學(xué)生的觀察比較、分析綜合的能力，還培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)手操作、探索創(chuàng)新的能力，是學(xué)習(xí)多邊形面積計(jì)算，掌握轉(zhuǎn)化思想的起始內(nèi)容。

　　學(xué)情分析

　　五年級學(xué)生正處在形象思維和邏輯思維過渡時(shí)期。他們有了一定空間觀念和邏輯思維能力。但對于理解圖形面積計(jì)算的公式推導(dǎo)和描述推導(dǎo)的過程還是有難度的。這就需要教師利用生動(dòng)形象的教學(xué)媒介讓學(xué)生去參與、去操作、去實(shí)踐，才能讓學(xué)生通過體驗(yàn)，掌握規(guī)律，形成技能。這節(jié)課中生動(dòng)形象的多媒體有助于學(xué)生將這些抽象的事物轉(zhuǎn)化為易于理解、易于接受的事物，多媒體的使用在教學(xué)中起到了不可替代的作用。

　　教學(xué)目標(biāo)

　　(1)使學(xué)生通過探索理解和掌握平行四邊形的面積公式，會計(jì)算平行四邊形的面積。

　　(2)通過操作，觀察、比較活動(dòng)，初步認(rèn)識轉(zhuǎn)化的方法，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、概括、推導(dǎo)能力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

　　(3)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣及積極參與、團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神。

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　教學(xué)重點(diǎn)：使學(xué)生通過探索、理解和掌握平行四邊形的面積、計(jì)算公式、會計(jì)算平行四邊形的面積。

　　教學(xué)難點(diǎn)：通過學(xué)生動(dòng)手操作，用割補(bǔ)的方法把一個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個(gè)長方形，找出兩個(gè)圖形間的聯(lián)系，推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。

　　教學(xué)過程

　　一、情感交流

　　二、探究新知

　　1、舊知鋪墊

　�。�1）、說出平面圖形名稱并對它們進(jìn)行分類。