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初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點 1
i.定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c
(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.)則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
ii.二次函數(shù)的三種表達式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點p(h，k)]
交點式：y=a(x-x)(x-x ) [僅限于與x軸有交點a(x ，0)和 b(x，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a
iii.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
iv.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點p，坐標為：p ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )當(dāng)-b/2a=0時，p在y軸上;當(dāng)δ= b^2-4ac=0時，p在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a>0時，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與x軸交點個數(shù)
δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
δ= b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。x的取值是虛數(shù)(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a)
v.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c，
當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，即ax^2+bx+c=0
此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的`根。
1.二次函數(shù)y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸：
當(dāng)h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
當(dāng)h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到.
當(dāng)h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2 +k的圖象;
當(dāng)h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當(dāng)h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當(dāng)h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時，開口向上，當(dāng)a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小;當(dāng)x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大.若a<0，當(dāng)x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大;當(dāng)x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小.
4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c);
(2)當(dāng)△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點a(x，0)和b(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離ab=|x-x|
當(dāng)△=0.圖象與x軸只有一個交點;
當(dāng)△<0.圖象與x軸沒有交點.當(dāng)a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y>0;當(dāng)a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y<0.
5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值
6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時，可設(shè)解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0).
7.二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn).
初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點 2
一、定義與定義表達式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax2+bx+c(a0)，則稱y為x的二次函數(shù)。
二、二次函數(shù)的三種表達式一般式：
y=ax2+bx+c(a0)頂點式：y=a(x-h)2+k(a0)，此時拋物線的頂點坐標為P(h，k)交點式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)僅用于函數(shù)圖像與x軸有兩個交點時，x1、x2為交點的橫坐標，所以兩交點的坐標分別為A(x1，0)和B(x2，0))，對稱軸所在的直線為x=注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：h=-，k=;x1,x2=;x1+x2=-
三、二次函數(shù)的圖像從圖像可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，屬于軸對稱圖形。
四、拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形，對稱軸為直線x=-，對稱軸與拋物線唯一的交點是拋物線的頂點P。特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為P(-，)。當(dāng)x=-時，y最值=，當(dāng)a0時，函數(shù)y有最小值;當(dāng)a0時，函數(shù)y有最大值。當(dāng)-=0時，P在y軸上(即交點的橫坐標為0);當(dāng)=b2-4ac=0時，P在x軸上(即函數(shù)與x軸只有一個交點)。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小(即形狀)。當(dāng)a0時，拋物線開口向上;當(dāng)a0時，拋物線開口向下。|a|越大，則拋物線的開口越小。對于兩個拋物線，若形狀相同，開口方向相同，則a相等;若形狀相同，開口方向相反，則a互為相反數(shù)。
4.二次項系數(shù)a和一次項系數(shù)b共同決定對稱軸的位置，四字口訣為“左同右異”，即：當(dāng)對稱軸在y軸左邊時，a與b同號(即ab當(dāng)對稱軸在y軸右邊時，a與b異號(即ab0)。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置，拋物線與y軸交于點(0，c)。
6.拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸交點個數(shù)與方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：=b2-4ac0時，拋物線與x軸有2個交點，對應(yīng)方程有兩個不相同的實數(shù)根;=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點，對應(yīng)方程有兩個相同的實數(shù)根。=b2-4ac0時，拋物線與x軸沒有交點，對應(yīng)方程沒有實數(shù)根。
五、二次函數(shù)與一元二次方程
二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax2+bx+c(a0)，當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
六、常用的計算方法
1、求解析式的時候：若給定三個普通點的坐標，則設(shè)為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a0)，分別將三點坐標代入組成三元一次方程組，然后解此方程組求出a、b、c，再代回設(shè)的一般式中即可求出解析式;若給定有頂點坐標或?qū)ΨQ軸、最值，則設(shè)為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a0)，再找一點坐標代入即可求出a，再代回設(shè)的頂點式即可求出解析式;若給定有與x軸的交點坐標，則設(shè)為交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)(a0)，再找一點坐標代入即可求出a，再代回設(shè)的交點式即可求出解析式。以上方法特別要注意括號內(nèi)的正負號。
2、若求函數(shù)與x軸的交點坐標，讓y=0，解一元二次方程所得的根就是交點的橫坐標;
3、若求函數(shù)的'頂點坐標，用配方的方法或者直接套用頂點坐標的公式;
4、若求函數(shù)的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式(同頂點坐標)。
5、當(dāng)需要判定函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)與x軸沒有交點時，需判定方程ax2+bx+c=0的lt;0，同理，與x軸只有一個交點時，=0，與x軸有兩個交點時，gt;0。對的判定方法仍然是用配方的方法。
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