函數y=Asinωx φ圖象教案
作為一名辛苦耕耘的教育工作者，通常需要用到教案來輔助教學，通過教案準備可以更好地根據具體情況對教學進程做適當的必要的調整。來參考自己需要的教案吧！下面是小編整理的函數y=Asinωx φ圖象教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
函數y=Asinωx φ圖象教案1
整體設計
教學分析
本節(jié)通過圖象變換，揭示參數φ、ω、A變化時對函數圖象的形狀和位置的影響，討論函數y=Asin(ωx+φ)的圖象與正弦曲線的關系，以及A、ω、φ的物理意義，并通過圖象的變化過程，進一步理解正、余弦函數的性質，它是研究函數圖象變換的一個延伸，也是研究函數性質的一個直觀反映.這節(jié)是本章的一個難點.
如何經過變換由正弦函數y=sinx來獲取函數y=Asin(ωx+φ)的圖象呢?通過引導學生對函數y＝sinx到y(tǒng)＝Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律的探索，讓學生體會到由簡單到復雜、由特殊到一般的化歸思想；并通過對周期變換、相位變換先后順序調整后，將影響圖象變換這一難點的突破，讓學生學會抓住問題的主要矛盾來解決問題的基本思想方法;通過對參數φ、ω、A的分類討論，讓學生深刻認識圖象變換與函數解析式變換的內在聯(lián)系.
本節(jié)課建議充分利用多媒體，倡導學生自主探究，在教師的引導下，通過圖象變換和“五點”作圖法，正確找出函數y＝sinx到y(tǒng)＝Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律，這也是本節(jié)課的重點所在.
三維目標
1.通過學生自主探究，理解φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響，ω對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響，A對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響.
2.通過探究圖象變換，會用圖象變換法畫出y=Asin(ωx+φ)圖象的簡圖，并會用“五點法”畫出函數y=Asin(ωx+φ)的簡圖.
3.通過學生對問題的自主探究，滲透數形結合思想.培養(yǎng)學生的獨立意識和獨立思考能力.學會合作意識，培養(yǎng)學生理解動與靜的辯證關系，善于從運動的觀點觀察問題，培養(yǎng)學生解決問題抓主要矛盾的思想.在問題逐步深入的研究中喚起學生追求真理，樂于創(chuàng)新的情感需求，引發(fā)學生渴求知識的強烈愿望，樹立科學的人生觀、價值觀.
重點難點
教學重點:用參數思想分層次、逐步討論字母φ、ω、A變化時對函數圖象的形狀和位置的影響，掌握函數y=Asin(ωx+φ)圖象的簡圖的作法.
教學難點:由正弦曲線y=sinx到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象的變換過程.
課時安排
2課時
教學過程
第1課時
導入新課
思路1.(情境導入)在物理和工程技術的許多問題中，都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函數(其中A、ω、φ是常數).例如，物體做簡諧振動時位移y與時間x的關系，交流電中電流強度y與時間x的關系等，都可用這類函數來表示.這些問題的實際意義往往可從其函數圖象上直觀地看出，因此，我們有必要畫好這些函數的圖象.揭示課題:函數y=Asin(ωx+φ)的圖象.
思路2.(直接導入)從解析式來看，函數y=sinx與函數y=Asin(ωx+φ)存在著怎樣的關系?從圖象上看，函數y=sinx與函數y=Asin(ωx+φ)存在著怎樣的關系?接下來，我們就分別探索φ、ω、A對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響.
推進新課
新知探究
提出問題
�、儆^察交流電電流隨時間變化的圖象，它與正弦曲線有何關系？你認為可以怎樣討論參數φ、ω、A對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響？
�、诜謩e在y=sinx和y=sin(x+)的圖象上各恰當地選取一個縱坐標相同的點，同時移動這兩點并觀察其橫坐標的變化，你能否從中發(fā)現，φ對圖象有怎樣的影響？對φ任取不同的值，作出y=sin(x+φ)的圖象，看看與y＝sinx的圖象是否有類似的關系？
③請你概括一下如何從正弦曲線出發(fā)，經過圖象變換得到y(tǒng)=sin(x+φ)的圖象.
④你能用上述研究問題的方法，討論探究參數ω對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響嗎？為了作圖的方便，先不妨固定為φ=，從而使y=sin(ωx+φ)在ω變化過程中的比較對象固定為y=sin(x+).
�、蓊愃频兀隳苡懻撘幌聟礎對y=sin(2x+)的圖象的影響嗎？為了研究方便，不妨令ω=2，φ=.此時，可以對A任取不同的值，利用計算器或計算機作出這些函數在同一坐標系中的圖象，觀察它們與y=sin(2x+)的圖象之間的關系.
⑥可否先伸縮后平移？怎樣先伸縮后平移的？
活動:問題①，教師先引導學生閱讀課本開頭一段，教師引導學生思考研究問題的方法.同時引導學生觀察y=sin(x+)圖象上點的坐標和y=sinx的圖象上點的坐標的關系，獲得φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響的具體認識.然后通過計算機作動態(tài)演示變換過程，引導學生觀察變化過程中的不變量，得出它們的橫坐標總是相差的結論.并讓學生討論探究.最后共同總結出:先分別討論參數φ、ω、A對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響，然后再整合.
圖1
問題②，由學生作出φ取不同值時，函數y=sin(x+φ)的圖象，并探究它與y=sinx的圖象的關系，看看是否仍有上述結論.教師引導學生獲得更多的關于φ對y=sin(x+φ)的圖象影響的經驗.為了研究的方便，不妨先取φ=，利用計算機作出在同一直角坐標系內的圖象，如圖1，分別在兩條曲線上恰當地選取一個縱坐標相同的點A、B，沿兩條曲線同時移動這兩點，并保持它們的縱坐標相等，觀察它們橫坐標的關系.可以發(fā)現，對于同一個y值，y=sin(x+)的圖象上的點的橫坐標總是等于y=sinx的圖象上對應點的橫坐標減去.這樣的過程可通過多媒體課件，使得圖中A、B兩點動起來(保持縱坐標相等)，在變化過程中觀察A、B的坐標、xB-xA、|AB|的變化情況，這說明y=sin(x+)的圖象，可以看作是把正弦曲線y=sinx上所有的點向左平移個單位長度而得到的，同時多媒體動畫演示y=sinx的圖象向左平移使之與y=sin(x+)的圖象重合的過程，以加深學生對該圖象變換的直觀理解.再取φ=，用同樣的方法可以得到y(tǒng)=sinx的圖象向右平移后與y=sin(x)的圖象重合.
如果再變換φ的值，類似的情況將不斷出現，這時φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響的鋪墊已經完成，學生關于φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響的一般結論已有了大致輪廓.
問題③，引導學生通過自己的研究認識φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響，并概括出一般結論:
y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有的點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平行移動|φ|個單位長度而得到.
問題④，教師指導學生獨立或小組合作進行探究，教師作適當指導.注意提醒學生按照從具體到一般的思路得出結論，具體過程是:(1)以y=sin(x+)為參照，把y=sin(2x+)的圖象與y=sin(x+)的圖象作比較，取點A、B觀察.發(fā)現規(guī)律:
圖2
如圖2，對于同一個y值，y=sin(2x+)的圖象上點的橫坐標總是等于y=sin(x+)的圖象上對應點的倍.教學中應當非常認真地對待這個過程，展示多媒體課件，體現伸縮變換過程，引導學生在自己獨立思考的基礎上給出規(guī)律.(2)取ω=，讓學生自己比較y=sin(x+)的圖象與y=sin(x+)圖象.教學中可以讓學生通過作圖、觀察和比較圖象、討論等活動，得出結論:把y=sin(x+)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，就得到y(tǒng)=sin(x+)的圖象.
當取ω為其他值時，觀察相應的函數圖象與y=sin(x+)的圖象的關系，得出類似的結論.這時ω對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響的鋪墊已經完成，學生關于ω對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響的一般結論已有了大致輪廓.教師指導學生將上述結論一般化，歸納y=sin(ωx+φ)的圖象與y=sin(x+φ)的圖象之間的關系，得出結論:
函數y=sin(ωx+φ)的圖象可以看作是把y=sin(x+φ)的圖象上所有點的橫坐標縮短(當ω>1時)或伸長(當0<ω<1時)到原來的倍(縱坐標不變)而得到.
圖3
問題⑤，教師點撥學生，探索A對圖象的影響的過程，與探索ω、φ對圖象的影響完全一致，鼓勵學生獨立完成.學生觀察y=3sin(2x+)的圖象和y=sin(2x+)的圖象之間的關系.如圖3，分別在兩條曲線上各取一個橫坐標相同的點A、B，沿兩條曲線同時移動這兩點，并使它們的橫坐標保持相同，觀察它們縱坐標的關系.可以發(fā)現，對于同一個x值，函數y=3sin(2x+)的圖象上的點的縱坐標等于函數y=sin(2x+)的圖象上點的縱坐標的3倍.這說明，y=3sin(2x+)的圖象，可以看作是把y=sin(2x+)的圖象上所有的點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變)而得到的通過實驗可以看到，A取其他值時也有類似的情況.有了前面兩個參數的探究，學生得出一般結論:
函數y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的圖象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有點的縱坐標伸長(當A>1時)或縮短(當0 由此我們得到了參數φ、ω、A對函數y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的圖象變化的影響情況.一般地，函數y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的圖象，可以看作用下面的方法得到:先畫出函數y＝sinx的圖象;再把正弦曲線向左(右)平移|φ|個單位長度，得到函數y=sin(x+φ)的圖象；然后使曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮玫胶瘮祔=sin(ωx+φ)的圖象；最后把曲線上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，這時的曲線就是函數y=Asin(ωx+φ)的圖象.
�、抟龑W生類比得出.其順序是:先伸縮橫坐標(或縱坐標)，再伸縮縱坐標(或橫坐標)，最后平移.但學生很容易在第三步出錯，可在圖象變換時，對比變換，以引起學生注意，并體會一些細節(jié).
由此我們完成了參數φ、ω、A對函數圖象影響的探究.教師適時地引導學生回顧思考整個探究過程中體現的思想:由簡單到復雜，由特殊到一般的化歸思想.
討論結果:①把從函數y=sinx的圖象到函數y=Asin(ωx+φ)的圖象的變換過程，分解為先分別考察參數φ、ω、A對函數圖象的影響，然后整合為對y=Asin(ωx+φ)的整體考察.
�、诼�.
�、蹐D象左右平移，φ影響的是圖象與x軸交點的位置關系.
�、芸v坐標不變，橫坐標伸縮，ω影響了圖象的形狀.
�、輽M坐標不變，縱坐標伸縮，A影響了圖象的形狀.
�、蘅梢�.先伸縮后平移(提醒學生盡量先平移)，但要注意第三步的平移.
y=sinx的圖象
得y=Asinx的圖象
得y=Asin(ωx)的圖象
得y=Asin(ωx+φ)的圖象.
規(guī)律總結:
先平移后伸縮的步驟程序如下:
y=sinx的圖象
得y=sin(x+φ)的圖象
得y=sin(ωx+φ)的圖象
得y=Asin(ωx+φ)的圖象.
先伸縮后平移的步驟程序(見上).
應用示例
例1 畫出函數y=2sin(x-)的簡圖.
活動:本例訓練學生的畫圖基本功及鞏固本節(jié)所學知識方法.
(1)引導學生從圖象變換的角度來探究，這里的φ＝，ω＝，A＝2，鼓勵學生根據本節(jié)所學內容自己寫出得到y(tǒng)=2sin(x-)的圖象的過程:只需把y＝sinx的曲線上所有點向右平行移動個單位長度，得到y(tǒng)=sin(x-)的圖象;再把后者所有點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)=sin(x-)的圖象;再把所得圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)而得到函數y=2sin(x-)的圖象，如圖4所示.
圖4
(2)學生完成以上變換后，為了進一步掌握圖象的變換規(guī)律，教師可引導學生作換個順序的圖象變換，要讓學生自己獨立完成，仔細體會變化的實質.
(3)學生完成以上兩種變換后，就得到了兩種畫函數y=2sin(x-)，簡圖的方法，教師再進一步的啟發(fā)學生能否利用“五點法”作圖畫出函數y=2sin(x-)的簡圖，并鼓勵學生動手按“五點法”作圖的要求完成這一畫圖過程.
解:方法一:畫出函數y=2sin(x-)簡圖的方法為
y=sinxy=sin(x-)
y=sin(x-)
y=2sin(x-).
方法二:畫出函數y=2sin(x-)簡圖的又一方法為
y=sinxy=sinx
y=2sinxy=2sin(x-)=2sin(x-).
方法三:(利用“五點法”作圖——作一個周期內的圖象)
令X=x-，則x=3(X+).列表:
X
π
2π
X
2π
5π
Y
2
-2
描點畫圖，如圖5所示.
圖5
點評:學生獨立完成以上探究后，對整個的圖象變換及“五點法”作圖會有一個新的認識.但教師要強調學生注意方法二中第三步的變換，左右平移變換只對“單個”x而言，這點是個難點，學生極易出錯.對于“五點法”作圖，要強調這五個點應該是使函數取最大值、最小值以及曲線與x軸相交的點.找出它們的方法是先作變量代換，設X=ωx+φ，再用方程思想由X取0，，π，，2π來確定對應的x值.
變式訓練
1.2007山東威海一模統(tǒng)考，12 要得到函數y=sin(2x+)的圖象，只需將函數y=sinx的圖象( )
A.向左平移個單位，再把所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
B.向右平移個單位，再把所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
C.向左平移個單位，再把所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變
D.向右平移個單位，再把所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變
答案:C
2.2007山東菏澤一模統(tǒng)考，7 要得到函數y=2sin(3x)的圖象，只需將函數y＝2sin3x的圖象( )
A.向左平移個單位 B.向右平移個單位
C.向左平移個單位 D.向右平移個單位
答案:D
例2 將y=sinx的圖象怎樣變換得到函數y=2sin(2x+)+1的圖象?
活動:可以用兩種圖象變換得到.但無論哪種變換都是針對字母x而言的由y=sin2x的圖象向左平移個單位長度得到的函數圖象的解析式是y=sin2(x+)而不是y=sin(2x+)，把y=sin(x+)的圖象的橫坐標縮小到原來的，得到的函數圖象的解析式是y=sin(2x+)，而不是y=sin2(x+).
解:方法一:①把y=sinx的圖象沿x軸向左平移個單位長度，得y=sin(x+)的圖象；②將所得圖象的橫坐標縮小到原來的，得y=sin(2x+)的圖象；③將所得圖象的縱坐標伸長到原來的2倍，得y=2sin(2x+)的圖象；④最后把所得圖象沿y軸向上平移1個單位長度得到y(tǒng)=2sin(2x+)+1的圖象.
方法二:①把y=sinx的圖象的縱坐標伸長到原來的2倍，得y=2sinx的圖象；②將所得圖象的橫坐標縮小到原來的，得y=2sin2x的圖象；③將所得圖象沿x軸向左平移個單位長度，得y=2sin2(x+)的圖象；④最后把圖象沿y軸向上平移1個單位長度得到y(tǒng)=2sin(2x+)+1的圖象.
點評:三角函數圖象變換是個難點.本例很好地鞏固了本節(jié)所學知識方法，關鍵是教師引導學生理清變換思路和各種變換對解析式的影響.
變式訓練
1.將y=sin2x的圖象怎樣變換得到函數y=cos(2x-)的圖象?
解:y=sin2x=cos(-2x)=cos(2x-).
在y=cos(2x-)中以x-a代x，有y=cos［2(x-a)-］=cos(2x-2a-).根據題意，有2x-2a-=2x-，得a=-.
所以將y=sin2x的圖象向左平移個單位長度可得到函數y=cos(2x-)的圖象.
2.如何由函數y=3sin(2x+)的圖象得到函數y=sinx的圖象？
方法一:y=3sin(2x+)y=sin(2x+)
y=sin(x+)y=sinx.
方法二:y=3sin(2x+)=3sin2(x+)y=3sin2x
y=sin2xy=sinx.
3.2007山東高考，4 要得到函數y=sinx的圖象，只需將函數y=cos(x-)的圖象( )
A.向右平移個單位 B.向右平移個單位
C.向左平移個單位 D.向左平移個單位
答案:A
知能訓練
課本本節(jié)練習1、2.
解答:
1.如圖6.
點評:第(1)(2)(3)小題分別研究了參數A、ω、φ對函數圖象的影響，第(4)小題則綜合研究了這三個參數對y=Asin(ωx+φ)圖象的影響.
2.(1)C;(2)B;(3)C.
點評:判定函數y=A1sin(ω1x+φ1)與y=A2sin(ω2x+φ2)的圖象間的關系.為了降低難度，在A1與A2，ω1與ω2，φ1與φ2中，每題只有一對數值不同.
課堂小結
1.由學生自己回顧總結本節(jié)課探究的知識與方法，以及對三角函數圖象及三角函數解析式的新的認識，使本節(jié)的總結成為學生凝練提高的平臺.
2.教師強調本節(jié)課借助于計算機討論并畫出y=Asin(ωx+)的圖象，并分別觀察參數φ、ω、A對函數圖象變化的影響，同時通過具體函數的圖象的變化，領會由簡單到復雜、特殊到一般的化歸思想.
作業(yè)
1.用圖象變換的方法在同一坐標系內由y=sinx的圖象畫出函數y=sin(-2x)的圖象.
2.要得到函數y=cos(2x-)的圖象，只需將函數y=sin2x的圖象通過怎樣的變換得到?
3.指出函數y=cos2x+1與余弦曲線y=cosx的'關系.
解答:1.∵y=sin(-2x)=sin2x，作圖過程:
y=sinxy=sin2xy=sin2x.
2.∵y=cos(2x-)=sin[+(2x-)]=sin(2x+)=sin2(x+)，
∴將曲線y=sin2x向左平移個單位長度即可.
3.∵y=cos2x+1，
∴將余弦曲線y=cosx上各點的橫坐標縮短到原來的倍，再將所得曲線上所有的點向上平移1個單位長度，即可得到曲線y=cos2x+1.
設計感想
1.本節(jié)圖象較多，學生活動量大，因此本節(jié)設計的主要指導思想是充分利用信息技術工具，從整體上探究參數φ、ω、A對函數y=Asin(ωx+φ)圖象整體變化的影響.這符合新課標精神，符合教育課改新理念.現代教育要求學生在富有的學習動機下主動學習，合作探究，教師僅是學生主動學習的激發(fā)者和引導者.
2.對于函數y=sinx的圖象與函數y=Asin(ωx+φ)的圖象間的變換，由于“平移變換”與“伸縮變換”在“順序”上的差別，直接會對圖象平移量產生影響，這點也是學習三角函數圖象變換的難點所在，設計意圖旨在通過對比讓學生領悟它們的異同.
3.學習過程是一個認知過程，學生內部的認知因素和學習情景的因素是影響學生認知結構的變量.如果學生本身缺乏學習動機和原有的認知結構，外部的變量就不能發(fā)揮它們的作用，但外部變量所提供的刺激也能使內部能力引起學習.
(設計者:張云全)
第2課時
導入新課
思路1.(直接導入)上一節(jié)課中，我們分別探索了參數φ、ω、A對函數y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響及“五點法”作圖.現在我們進一步熟悉掌握函數y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，φ≠0)的圖象變換及其物理背景.由此展開新課.
思路2.(復習導入)請同學們分別用圖象變換及“五點作圖法”畫出函數y=4sin(x-)的簡圖，學生動手畫圖，教師適時的點撥、糾正，并讓學生回答有關的問題.在學生回顧與復習上節(jié)所學內容的基礎上展開新課.
推進新課
新知探究
提出問題
①在上節(jié)課的學習中，用“五點作圖法”畫函數y=Asin(ωx+φ)的圖象時，列表中最關鍵的步驟是什么？
�、�(1)把函數y＝sin2x的圖象向_____平移_____個單位長度得到函數y＝sin(2x－)的圖象；(2)把函數y＝sin3x的圖象向_______平移_______個單位長度得到函數y＝sin(3x＋)的圖象；(3)如何由函數y＝sinx的圖象通過變換得到函數y＝sin(2x+)的圖象？
�、蹖⒑瘮祔=f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位長度，所得到的曲線是y=sinx的圖象，試求函數y=f(x)的解析式.
對這個問題的求解現給出以下三種解法，請說出甲、乙、丙各自解法的正誤.(多媒體出示各自解法)
甲生:所給問題即是將y=sinx的圖象先向右平移個單位長度，得到y(tǒng)=sin(x-)的圖象，再將所得的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，得到y(tǒng)=sin(2x-)，即y=cos2x的圖象，∴f(x)=cos2x.
乙生:設f(x)=Asin(ωx+φ)，將它的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)=Asin(x+φ)的圖象，再將所得的圖象向左平移個單位長度，得到y(tǒng)=Asin(x++φ)=sinx，∴A=，=1，+φ=0，
即A=，ω=2，φ=-.∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.
丙生:設f(x)=Asin(ωx+φ)，將它的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)=Asin(x+φ)的圖象，再將所得的圖象向左平移個單位長度，得到y(tǒng)=Asin[(x+)+φ]=Asin(x++φ)= sinx，
∴A=，=1，+φ=0.
解得A=，ω=2，φ=-，
∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.
活動:問題①，復習鞏固已學三種基本變換，同時為導入本節(jié)課重、難點創(chuàng)設情境.讓學生回答并回憶A、ω、φ對函數y=Asin(ωx+φ)圖象變化的影響.引導學生回顧“五點作圖法”，既復習了舊知識，又為學生準確使用本節(jié)課的工具提供必要的保障.
問題②，讓學生通過實例綜合以上兩種變換，再次回顧比較兩種方法平移量的區(qū)別和導致這一現象的根本原因，以此培養(yǎng)訓練學生變換的逆向思維能力，訓練學生對變換實質的理解及使用誘導公式的綜合能力.
問題③，甲生的解法是考慮以上變換的“逆變換”，即將以上變換倒過來，由y=sinx變換到y(tǒng)=f(x)，解答正確.乙、丙兩名同學都是采用代換法，即設y=Asin(ωx+φ)，然后按題設中的變換得到兩次變換后圖象的函數解析式，這種思路清晰，但值得注意的是:乙生的解答過程中存在實質性的錯誤，就是將y=Asin(x+φ)的圖象向左平移個單位長度時，把y=Asin(x+φ)函數中的自變量x變成x+，應該變換成y=Asin[(x+)+φ]，而不是變換成y=Asin(x++φ)，雖然結果一樣，但這是巧合，丙同學的解答是正確的
三角函數圖象的“逆變換”一定要注意其順序，比如甲生解題的過程中如果交換了順序就會出錯，故在對這種方法不是很熟練的情況下，用丙同學的解法較合適(即待定系數法).平移變換是對自變量x而言的，比如乙同學的變換就出現了這種錯誤.
討論結果:①將ωx+φ看作一個整體，令其分別為0， ，π， ，2π.
�、�(1)右， ；(2)左， ；(3)先y＝sinx的圖象左移，再把所有點的橫坐標壓縮到原來的倍(縱坐標不變).
③略.
提出問題
�、倩貞浳锢碇泻喼C運動的相關內容，并閱讀本章開頭的簡諧運動的圖象，你能說出簡諧運動的函數關系嗎？
�、诨貞浳锢碇泻喼C運動的相關內容，回答:振幅、周期、頻率、相位、初相等概念與A、ω、φ有何關系.
活動:教師引導學生閱讀并適時點撥.通過讓學生回憶探究，建立與物理知識的聯(lián)系，了解常數A、ω、φ與簡諧運動的某些物理量的關系，得出本章開頭提到的“簡諧運動的圖象”所對應的函數解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ)，x∈［0，+∞)，其中A>0，ω>0.物理中，描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數有關:A就是這個簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離;這個簡諧運動的周期是T=，這是做簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間;這個簡諧運動的頻率由公式f==給出，它是做簡諧運動的物體在單位時間內往復運動的次數;ωx+φ稱為相位;x=0時的相位φ稱為初相.
討論結果:①y=Asin(ωx+φ)，x∈［0，+∞)，其中A>0，ω>0.
�、诼�.
應用示例
例1 圖7是某簡諧運動的圖象.試根據圖象回答下列問題:
(1)這個簡諧運動的振幅、周期和頻率各是多少?
(2)從O點算起，到曲線上的哪一點，表示完成了一次往復運動?如從A點算起呢?
(3)寫出這個簡諧運動的函數表達式.
圖7
活動:本例是根據簡諧運動的圖象求解析式.教師可引導學生再次回憶物理學中學過的相關知識，并提醒學生注意本課開始時探討的知識，思考y=Asin(ωx+φ)中的參數φ、ω、A在圖象上是怎樣反映的，要解決這個問題，關鍵要抓住什么.關鍵是搞清φ、ω、A等參數在圖象上是如何得到反映的讓學生明確解題思路，是由形到數地解決問題，學會數形結合地處理問題.完成解題后，教師引導學生進行反思學習過程，概括出研究函數y=Asin(ωx+φ)的圖象的思想方法，找兩名學生闡述思想方法，教師作點評、補充.
解:(1)從圖象上可以看到，這個簡諧運動的振幅為2 cm;周期為0.8 s;頻率為.
(2)如果從O點算起，到曲線上的D點，表示完成了一次往復運動;如果從A點算起，則到曲線上的E點，表示完成了一次往復運動.
(3)設這個簡諧運動的函數表達式為y=Asin(ωx+φ)，x∈［0，+∞)，
那么A=2;由=0.8，得ω=;由圖象知初相φ=0.
于是所求函數表達式是y=2sinx，x∈［0，+∞).
點評:本例的實質是由函數圖象求函數解析式，要抓住關鍵點.應用數學中重要的思想方法——數形結合的思想方法，應讓學生熟練地掌握這種方法.
變式訓練
函數y=6sin(x-)的振幅是，周期是____________，頻率是____________，初相是___________，圖象最高點的坐標是_______________.
解:6 8π (8kπ+，6)(k∈Z)
例2 若函數y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0，ω>0)在其一個周期內的圖象上有一個最高點(，3)和一個最低點(，-5)，求這個函數的解析式.
活動:讓學生自主探究題目中給出的條件，本例中給出的實際上是一個圖象，它的解析式為y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0，ω>0)，這是學生未遇到過的教師應引導學生思考它與y=Asin(ωx+φ)的圖象的關系，它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的圖象向上(B>0)或向下(B<0)平移|B|個單位.由圖象可知，取最大值與最小值時相應的x的值之差的絕對值只是半個周期.這里φ的確定學生會感到困難，因為題目中畢竟沒有直接給出圖象，不像例1那樣能明顯地看出來，應告訴學生一般都會在條件中注明|φ|<π，如不注明，就取離y軸最近的一個即可.
解:由已知條件，知ymax=3，ymin=-5，
則A=(ymax-ymin)=4，B= (ymax+ymin)=-1，=-=.
∴T=π，得ω=2.
故有y=4sin(2x+φ)-1.
由于點(，3)在函數的圖象上，故有3=4sin(2×+φ)-1，
即sin(+φ)=1.一般要求|φ|<，故取+φ=.∴φ=.
故所求函數的解析式為y=4sin(2x+)-1.
點撥:這是數形結合的又一典型應用，應讓學生明了，題中無圖但腦中應有圖或根據題意畫出草圖，結合圖象可直接求得A、ω，進而求得初相φ，但要注意初相φ的確定.求初相也是這節(jié)課的一個難點.
變式訓練
已知函數y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)一個周期的圖象如圖8所示，求函數的解析式.
解:根據“五點法”的作圖規(guī)律，認清圖象中的一些已知點屬于五點法中的哪一點，而選擇對應的方程ωxi+φ=0，，π，，2π(i=1，2，3，4，5)，得出φ的值.
方法一:由圖知A=2，T=3π，
由=3π，得ω=，∴y=2sin(x+φ).
由“五點法”知，第一個零點為(，0)，
∴·+φ=0葒=-，
故y=2sin(x-).
方法二:得到y(tǒng)=2sin(x+φ)同方法一.
由圖象并結合“五點法”可知，(，0)為第一個零點，(，0)為第二個零點.
∴·+φ=π葒=.
∴y=2sin(x-).
點評:要熟記判斷“第一點”和“第二點”的方法，然后再利用ωx1+φ=0或ωx2+φ=π求出φ.
2.2007海南高考，3函數y=sin(2x-)在區(qū)間［，π］上的簡圖是( )
圖9
答案:A
知能訓練
課本本節(jié)練習3、4.
3.振幅為，周期為4π，頻率為.先將正弦曲線上所有的點向右平行移動個單位長度，再在縱坐標保持不變的情況下將各點的橫坐標伸長到原來的2倍，最后在橫坐標保持不變的情況下將各點的縱坐標縮短到原來的倍.
點評:了解簡諧運動的物理量與函數解析式的關系，并認識函數y=Asin(ωx+φ)的圖象與正弦曲線的關系.
4..把正弦曲線在區(qū)間［，+∞)的部分向左平行移動個單位長度，就可得到函數y=sin(x+)，x∈［0，+∞)的圖象.
點評:了解簡諧運動的物理量與函數解析式的關系，并認識函數y=sin(x+φ)的圖象與正弦曲線的關系.
課堂小結
1.由學生自己回顧本節(jié)學習的數學知識:簡諧運動的有關概念.本節(jié)學習的數學方法:由簡單到復雜、特殊到一般、具體到抽象的化歸思想，數形結合思想，待定系數法，數學的應用價值.
2.三角函數圖象變換問題的常規(guī)題型是:已知函數和變換方法，求變換后的函數或圖象，這種題目的解題的思路是:如果函數同名則按兩種變換方法的步驟進行即可；如果函數不同名，則將異名函數化為同名函數，且需x的系數相同.左右平移時，如果x前面的系數不是1，需將x前面的系數提出，特別是給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的題型.有時從尋找“五點法”中的第一零點(，0)作為突破口，一定要從圖象的升降情況找準第一零點的位置.
作業(yè)
把函數y=cos(3x+)的圖象適當變動就可以得到y(tǒng)=sin(-3x)的圖象，這種變動可以是( )
A.向右平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向左平移
解:∵y=cos(3x+)=sin(-3x)=sin[-3(x-)]，
∴由y=sin[-3(x-)]向左平移才能得到y(tǒng)=sin(-3x)的圖象.
答案:D
點評:本題需逆推，教師在作業(yè)講評時應注意加強學生逆向思維的訓練.如本題中的-3x需寫成-3(x-)，這樣才能確保平移變換的正確性.
設計感想
1.本節(jié)課符合新課改精神，突出體現了以學生能力的發(fā)展為主線，應用啟發(fā)式、講述式引導學生層層深入，培養(yǎng)學生自主探索及發(fā)現問題、分析問題和解決問題的能力.注重利用非智力因素促進學生的學習，實現數學知識價值、思維價值和人文價值的高度統(tǒng)一.
2.由于本節(jié)內容綜合性強，所以本節(jié)教案設計的指導思想是:在教師的引導下，讓學生積極、主動地提出問題，自主分析，再合作交流，達到殊途同歸.在思維訓練的過程中，感受數學知識的魅力，成為學習的主人.新課改要求教師在新的教學理念下，要勇于，更要善于把問題拋給學生，激發(fā)學生探求知識的強烈欲望和創(chuàng)新意識.教學的目的是以知識為平臺，全面提升學生的綜合能力.
函數y=Asinωx φ圖象教案2
一、教材分析
1·教材的地位和作用
在學習這節(jié)課以前，我們已經學習了振幅變換。本節(jié)知識是學習函數圖象變換綜合應用的基礎，在教材地位上顯得十分重要。 y=asin(ωx φ)圖象變換的學習有助于學生進一步理解正弦函數的圖象和性質，加深學生對函數圖象變換的理解和認識，加深數形結合在數學學習中的應用的認識。同時為相關學科的學習打下扎實的基礎。
⒉教材的重點和難點
重點是對周期變換、相位變換規(guī)律的理解和應用。
難點是對周期變換、相位變換先后順序的調整，對圖象變換的影響。
�、辰滩膬热莸陌才藕吞幚�
函數y=asin(ωx φ)圖象這部分內容計劃用3課時，本節(jié)是第2課時，主要學習周期變換和相位變換，以及兩種變換的綜合應用。
二、目的分析
�、敝R目標
掌握相位變換、周期變換的變換規(guī)律。
�、材芰δ繕�
培養(yǎng)學生的觀察能力、動手能力、歸納能力、分析問題解決問題能力。
⒊德育目標
在教學中努力培養(yǎng)學生的“由簡單到復雜、由特殊到一般”的辯證思想，培養(yǎng)學生的探究能力和協(xié)作學習的能力。
�、辞楦心繕�
通過學數學，用數學，進而培養(yǎng)學生對數學的興趣。
三、教具使用
�、俦菊n安排在電腦室教學，每個學生都擁有一臺計算機，所有的計算機由一套多媒體演示控制系統(tǒng)連接，以實現師生、生生的相互溝通。
�、谡n前應先把本課所需要的幾何畫板課件通過多媒體演示系統(tǒng)發(fā)送到每一臺學生電腦。
四、教法、學法分析
本節(jié)課以“探究——歸納——應用”為主線，通過設置問題情境，引導學生自主探究，總結規(guī)律，并能應用規(guī)律分析問題、解決問題。
以學生的自主探究為主要方式，把計算機使用的主動權交給學生，讓學生主動去學習新知、探究未知，在活動中學習數學、掌握數學，并能數學地提出問題、解決問題。
五、教學過程
教學過程設計：
預備知識
一、問題探究
⑴師生合作探究周期變換
�、茖W生自主探究相位變換
二、歸納概括
三、實踐應用
教學程序
設計說明
〖預備知識〗
1我們已經學習了幾種圖象變換？
2這些變換的規(guī)律是什么？
幫助學生鞏固、理解和歸納基礎知識，為后面的學習作鋪墊。促使學生學會對知識的歸納梳理。
〖問題探究〗
�。ㄒ唬⿴熒献魈骄恐芷谧儞Q
(1)自己動手，在幾何畫板中分別觀察①y=sinx→y=sin2x;②y=sinx→y=sin
x圖象的變換過程，指出變換過程中圖象上每一個點的坐標發(fā)生了什么變化。
(2)在上述變換過程中，橫坐標的伸長和縮短與ω之間存在怎樣的關系？
�。ǘ⿲W生自主探究相位變換
(1)我們初中學過的由y=f(x)→y=f(x a)的圖象變換規(guī)律是怎樣的？
(2)令f(x)=sinx,則f(x φ)=sin(x φ)，那么y=sinx→y=sin(x φ)的變換是不是也符合上述規(guī)律呢？請動手用幾何畫板加以驗證。
設計這個問題的主要用意是讓學生通過觀察圖象變換的過程，了解周期變換的基本規(guī)律。
設計這個問題意圖是引導學生再次認真觀察圖象變換的過程，以便總結周期變換的規(guī)律。
師生合作探究已經讓學生掌握了探究圖象變換的基本方法，在此基礎上，由學生自主探究相位變換規(guī)律，提高學生的綜合能力。
〖歸納概括〗
通過以上探究,你能否總結出周期變換和相位變換的一般規(guī)律?
設計這個環(huán)節(jié)的意圖是通過對上述變換過程的探究,進而引導學生歸納概括,從現象到本質,總結出周期變換和相位變換的'一般規(guī)律。
〖實踐應用〗
�。ㄒ唬⿷门e例
(1)用五點法作出y=sin(2x)一個周期內的簡圖。
(2)我們可以通過哪些方法完成y=sinx到y(tǒng)=sin(2x)的圖象變換
(3)請動手驗證上述方法，把幾何畫板所得圖象與用五點法作出的簡圖作比較，觀察哪些方法是正確的，哪些方法是錯誤的。
(4)歸納總結
從上述的變換過程中,我們知道若f(x)=sin2x,則f(___)=sin(2x),由f(x)→f(x a)的變換規(guī)律得從y=sin2x→y=sin(2x)的變換應該是_____.
�。ǘ┓謱佑柧�
a組題（基礎題）
如何完成下列圖象的變換：
①y=sin3x→y=sin（3x 1）
�、趛=sin(x 1)→y=sin（3x 1）
b組題（中等題）
如何完成下列圖象的變換：
�、賧=sin3x→y=sin（3x 1）
�、趛=sin(x 1)→y=sin（3x 1）
�、踶=sinx→y=sin（3x 1）
c組題（拓展題）
�、偃绾瓮瓿上铝袌D象的變換：y=sinx→y=sin（3x 1）
②我們知道，從f(x)到f(x) k的變換可通過圖象的上下平移(k>0上移)(k<0下移)|k|個單位得到。那么由y=f(x)→y=af(x) k的變換中，振幅變換和上下平移變換是不是也有先后順序呢？請通過實例加以驗證。
讓學生用五點法作出這個圖象是為了驗證變換方法是否正確。
給出這個問題的用意是開拓學生的思維，讓學生從多角度思考問題。
這個步驟主要目的是培養(yǎng)學生的探究能力和動手能力。
這個問題的解決，是突破本課難點的關鍵。通過問題的解決，讓學生理解如果先進行周期變換，而后進行相位變換，應特別關注x的變化量。
a組題重在基礎知識的掌握，由基礎較薄弱的同學完成。
b組比a組增加了第③小題，重在對兩種變換的綜合應用。
c組除了考查知識的綜合應用，還要求學生對新問題進行探究，有較大難度，適合基礎較好的
同學完成。
作業(yè)：
�。�1）必做題
（2）選做題
作業(yè)分為兩種形式，體現作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則。選做題不作統(tǒng)一要求，供學有余力的學生課后研究。
六、評價分析
在本節(jié)的教與學活動中，始終體現以學生的發(fā)展為本的教育理念。在學生已有的認知基礎上進行設問和引導，關注學生的認知過程，注意學生的品德、思維和心理等方面的發(fā)展。重視動手能力的培養(yǎng)，重視問題探究意識和能力的培養(yǎng)。同時，考慮不同學生的個性差異和發(fā)展層次，使不同的學生得到不同的發(fā)展，體現因材施教原則。
調節(jié)與反饋：
�、膨炞C兩種變換的綜合時，可能會出現有些學生無法觀察到兩種變換的區(qū)別這種情況，此時，教師除了加以引導外，還需通過教師演示和詳細講解加以解決。
�、平虒W中可能出現個別學生無法正確操作課件的情況，這種情況下一定要強調學生的協(xié)作意識。
附：板書設計
⑴周期變換規(guī)律 �、莾煞N變換的綜合 例題與練習
�、葡辔蛔儞Q的規(guī)律 �、茸⒁恻c
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