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二次根式教案
作為一名專為他人授業(yè)解惑的人民教師,可能需要進(jìn)行教案編寫工作,教案有助于學(xué)生理解并掌握系統(tǒng)的知識(shí)?靵韰⒖冀贪甘窃趺磳懙陌!下面是小編精心整理的二次根式教案,希望對(duì)大家有所幫助。
二次根式教案1
1.教學(xué)目標(biāo)
(1)經(jīng)歷二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)的形成過程;會(huì)進(jìn)行簡單的二次根式的乘法運(yùn)算;
(2)會(huì)用公式化簡二次根式.
2.目標(biāo)解析
(1)學(xué)生能通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律并對(duì)其進(jìn)行一般化的推廣,得出乘法法則的內(nèi)容;
(2)學(xué)生能利用二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì),化簡二次根式.
教學(xué)問題診斷分析
本節(jié)課的學(xué)習(xí)中,學(xué)生在得出乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)后,對(duì)于何時(shí)該選用何公式簡化運(yùn)算感到困難.運(yùn)算習(xí)慣的養(yǎng)成與符號(hào)意識(shí)的養(yǎng)成、運(yùn)算能力的形成緊密相關(guān),由于該內(nèi)容與以前學(xué)過的實(shí)數(shù)內(nèi)容有較多的聯(lián)系,例如,整式中的乘法公式在二次根式的運(yùn)算中也成立,在教學(xué)中,要多從聯(lián)系性上下力氣.,培養(yǎng)學(xué)生良好的運(yùn)算習(xí)慣.
在教學(xué)時(shí),通過實(shí)例運(yùn)算,對(duì)于將一個(gè)二次根式化為最簡二次根式,一般有兩種情況:(1)如果被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式(包括小數(shù)),可以采用直接利用分式的性質(zhì),結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(例見教科書例6解法1),也可以先寫成算術(shù)平方根的商的形式,再利用分式的性質(zhì)處理分母的根號(hào)(例見教科書例6解法2);(2)如果被開方數(shù)不含分母,可以先將它分解因數(shù)或分解因式,然后吧開得盡方的因數(shù)或因式開出來,從而將式子化簡.
本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為:二次根式的性質(zhì)及乘法法則的正確應(yīng)用和二次根式的化簡.
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
1.復(fù)習(xí)引入,探究新知
我們前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的概念和性質(zhì),本節(jié)課開始我們要學(xué)習(xí)二次根式的乘除.本節(jié)課先學(xué)習(xí)二次根式的乘法.
問題1 什么叫二次根式?二次根式有哪些性質(zhì)?
師生活動(dòng) 學(xué)生回答。
【設(shè)計(jì)意圖】乘法運(yùn)算和二次根式的化簡需要用到二次根式的性質(zhì).
問題2 教材第6頁“探究”欄目,計(jì)算結(jié)果如何?有何規(guī)律?
師生活動(dòng) 學(xué)生計(jì)算、思考并嘗試歸納,引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言描述乘法法則的內(nèi)容.
【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在自主探究的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,運(yùn)用類比思想,由特殊到一般地,采用不完全歸納的方法得出二次根式的乘法法則.要求學(xué)生用數(shù)學(xué)語言和文字分別描述法則,以培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí).
2.觀察比較,理解法則
問題3 簡單的根式運(yùn)算.
師生活動(dòng) 學(xué)生動(dòng)手操作,教師檢驗(yàn).
問題4 二次根式的乘除成立的條件是什么?等式反過來有什么價(jià)值?
師生活動(dòng) 學(xué)生回答,給出正確答案后,教師給出積的算術(shù)平方根的性質(zhì).
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生運(yùn)用法則進(jìn)行簡單的二次根式的乘法運(yùn)算,以檢驗(yàn)法則的掌握情況.乘法法則反過來就是積的算術(shù)平方根的性質(zhì),性質(zhì)是為運(yùn)算服務(wù)的,積的算術(shù)平方根的性質(zhì)將積的算術(shù)平方根分解成幾個(gè)因數(shù)或因式的算術(shù)平方根的積,利用整式的運(yùn)算法則、乘法公式等可以簡化二次根式,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.
3.例題示范,學(xué)會(huì)應(yīng)用
例1 化簡:(1)二次根式的乘除; (2)二次根式的乘除.
師生活動(dòng) 提問:你是怎么理解例(1)的?
如果學(xué)生回答不完善,再追問:這個(gè)問題中,就直接將結(jié)果算成二次根式的乘除可以嗎?你認(rèn)為本題怎樣才達(dá)到了化簡的效果?
師生合作回答上述問題.對(duì)于根式運(yùn)算的最后結(jié)果,一般被開方數(shù)中有開得盡方的因數(shù)或因式,應(yīng)依據(jù)二次根式的性質(zhì)二次根式的乘除將其移出根號(hào)外.
再提問:你能仿照第(1)題的解答,能自己解決(2)嗎?
【設(shè)計(jì)意圖】通過運(yùn)算,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力,明確二次根式化簡的方向.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以進(jìn)行二次根式的化簡.
例2 計(jì)算:(1)二次根式的乘除; (2)二次根式的乘除; (3)二次根式的乘除
師生活動(dòng) 學(xué)生計(jì)算,教師檢驗(yàn).
(1)在被開方數(shù)相乘的時(shí)候,就可以考慮因數(shù)或因式分解,由二次根式的乘除直接可得二次根式的乘除而不必先寫成二次根式的乘除再分解;
(2)二次根式的乘法運(yùn)算類似于整式的乘法運(yùn)算,交換律、結(jié)合律都是適用的.對(duì)于根號(hào)外有系數(shù)的根式在相乘時(shí),可以將系數(shù)先相乘作為積的系數(shù),再對(duì)根式進(jìn)行運(yùn)算;
(3)例(3)的運(yùn)算是選學(xué)內(nèi)容.讓學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)到“根號(hào)下為字母的二次根式”的運(yùn)算.本題先利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì),得到二次根式的乘除,然后利用二次根式的乘法法則,變成二次根式的乘除,由于二次根式的乘除可以判斷二次根式的乘除,因此直接將x移出根號(hào)外.
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié),強(qiáng)調(diào)利用運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算,利用乘法公式簡化運(yùn)算.讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到,二次根式是一類特殊的實(shí)數(shù),因此滿足實(shí)數(shù)的運(yùn)算律,關(guān)于整式運(yùn)算的公式和方法也適用.
教材中雖然指明,如未特別說明,本章中所有的字母都表示正數(shù),但仍應(yīng)強(qiáng)調(diào),看到根號(hào)就要注意被開方數(shù)的符號(hào).可以根據(jù)二次根式的概念對(duì)字母的`符號(hào)進(jìn)行判斷,在移出根號(hào)時(shí)正確處理符號(hào)問題.
4.鞏固概念,學(xué)以致用
練習(xí):教科書第7頁練習(xí)第1題. 第10頁習(xí)題16.2第1題.
【設(shè)計(jì)意圖】鞏固性練習(xí),同時(shí)檢驗(yàn)乘法法則的掌握情況.
5.歸納小結(jié),反思提高
師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題:
(1)你能說明二次根式的乘法法則是如何得出的嗎?
(2)你能說明乘法法則逆用的意義嗎?
(3)化簡二次根式的基本步驟是怎樣?一般對(duì)最后結(jié)果有何要求?
6.布置作業(yè):教科書第7頁第2、3題.習(xí)題16.2第1,6題.
五、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)
1.下列各式中,一定能成立的是( )
A.二次根式的乘除 B.二次根式的乘除
C.二次根式的乘除 D.二次根式的乘除
【設(shè)計(jì)意圖】考查二次根式的概念和性質(zhì),這是進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算的基礎(chǔ).
2.化簡二次根式的乘除 ______________________________。
【設(shè)計(jì)意圖】二次根式是特殊的實(shí)數(shù),實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算法則也適用于二次根式.
3.已知二次根式的乘除,化簡二次根式二次根式的乘除的結(jié)果是( )
A.二次根式的乘除 B.二次根式的乘除 C.二次根式的乘除 D.二次根式的乘除
【設(shè)計(jì)意圖】鞏固二次根式的性質(zhì),利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)正確化簡二次根式.
二次根式教案2
教學(xué)內(nèi)容
二次根式的加減
教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)與技能目標(biāo):理解和掌握二次根式加減的方法.
過程與方法目標(biāo):先提出問題,分析問題,在分析問題中,滲透對(duì)二次根式進(jìn)行加減的方法的理解.再總結(jié)經(jīng)驗(yàn),用它來指導(dǎo)根式的計(jì)算和化簡.
情感與價(jià)值目標(biāo):通過本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生:利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神,發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1.重點(diǎn):二次根式化簡為最簡根式.
2.難點(diǎn)關(guān)鍵:會(huì)判定是否是最簡二次根式.
教法:
1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法:通過教師精心設(shè)計(jì)的問題鏈,使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突,感悟新知,建立分式的模型,引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問題討論,使感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí),充分體現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用,對(duì)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用;
2、講練結(jié)合法:在例題教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生閱讀,與同類項(xiàng)進(jìn)行類比,獲得解決問題的方法后配以精講,并進(jìn)行分層練習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。
學(xué)法:
1、類比的方法通過觀察、類比,使學(xué)生感悟二次根式加減的模型,形成有效的學(xué)習(xí)策略。
2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料,體驗(yàn)一定的閱讀方法,提高閱讀能力。
3、分組討論法將自己的.意見在小組內(nèi)交換,達(dá)到取長補(bǔ)短,體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的交流與合作。
4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法,鞏固所學(xué)的知識(shí);利用教材進(jìn)行自檢,小組內(nèi)進(jìn)行他檢,提高學(xué)生的素質(zhì)。
知識(shí)點(diǎn)
自主檢測、同伴互查
1、師生共同解決“學(xué)法”問題與13頁“練習(xí)1”;
2、學(xué)生演板13頁“練習(xí)2、3”。
四、知識(shí)梳理、師生共議
1、談收獲:
(1)二次根式的加減法則是什么?有哪些運(yùn)算步驟?
(2)怎樣合并被開方數(shù)相同的二次根式呢?
(3)二次根式進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意什么問題?
2、說不足:。
五、作業(yè)訓(xùn)練、鞏固提高
1、必做題:課本15頁的“習(xí)題2、3”;
課時(shí)練習(xí)
1.揭示學(xué)法、自主學(xué)習(xí)
認(rèn)真閱讀課本14頁內(nèi)容,完成下列任務(wù):
1、完成14頁“例3、4”,先做再對(duì)照:
(1)平方差公式__________,完全平方公式__________.
(2)每步的運(yùn)算依據(jù)是什么?應(yīng)注意什么問題?
(時(shí)間7分鐘若有困難,與同伴討論)
三、自主檢測、同伴互查
1、師生共同解決“學(xué)法”問題;
2、學(xué)生演板14頁“練習(xí)1、2”。
四、知識(shí)梳理、師生共議
1、談收獲:
(1)二次根式進(jìn)行混合運(yùn)算時(shí)運(yùn)用了哪些知識(shí)?
(2)二次根式進(jìn)行混合運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意哪些問題?
二次根式教案3
1.請(qǐng)同學(xué)們回憶(≥0,b≥0)是如何得到的?
2.學(xué)生觀察下面的例子,并計(jì)算:
由學(xué)生總結(jié)上面兩個(gè)式的關(guān)系得:
類似地,請(qǐng)每個(gè)同學(xué)再舉一個(gè)例子,然后由這些特殊的例子,得出:
。ā0,b0)
使學(xué)生回憶起二次根式乘法的運(yùn)算方法的推導(dǎo)過程.
類似地,請(qǐng)每個(gè)同學(xué)再舉一個(gè)例子,
請(qǐng)學(xué)生們思考為什么b的取值范圍變小了?
與學(xué)生一起寫清解題過程,提醒他們被開方式一定要開盡.
對(duì)比二次根式的乘法推導(dǎo)出除法的運(yùn)算方法
增強(qiáng)學(xué)生的'自信心,并從一開始就使他們參與到推導(dǎo)過程中來.
對(duì)學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化被開方數(shù)的取值范圍,以及分母不能為零.
強(qiáng)化學(xué)生的解題格式一定要標(biāo)準(zhǔn).
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
問題與情境師生行為設(shè)計(jì)意圖
活動(dòng)二自我檢測
活動(dòng)三挑戰(zhàn)逆向思維
把反過來,就得到
。ā0,b0)
利用它就可以進(jìn)行二次根式的化簡.
例2化簡:
。1)
(2)(b≥0).
解:(1)(2)練習(xí)2化簡:
。1)(2)活動(dòng)四談?wù)勀愕氖斋@
1.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)(注意公式成立的條件).
2.會(huì)利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行簡單的二次根式的化簡.
找四名學(xué)生上黑板板演,其余學(xué)生在練習(xí)本上計(jì)算,然后再找學(xué)生指出不足.
二次根式的乘法公式可以逆用,那除法公式可以逆用嗎?
找學(xué)生口述解題過程,教師將過程寫在黑板上.
請(qǐng)學(xué)生仿照例題自己解決這兩道小題,組長檢查本組的學(xué)習(xí)情況.
請(qǐng)學(xué)生自己談收獲,并總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容.
為了更快地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤之處,以便糾正.
此處進(jìn)行簡單處理是因?yàn)橛卸胃降某朔ü降哪嬗米骰A(chǔ)理解并不難.
讓學(xué)困生在自己做題時(shí)有一個(gè)參照.
充分發(fā)揮組長的作用,盡可能在課堂上將問題解決.
二次根式教案4
課題:二次根式
教學(xué)目標(biāo) 1、知識(shí)與技能
理解a(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù), (a≥0)
2、過程與方法
。1)數(shù)學(xué)思考:學(xué)會(huì)獨(dú)立思考、體會(huì)數(shù)學(xué)的體驗(yàn)歸納、類比的思想
方法
。2) 問題解決:能夠利用性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡計(jì)算,能夠互助
交流合作,分析問題,總結(jié)反思
3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀
體驗(yàn)成功的樂趣,鍛煉克服困難的意志,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)
求實(shí)的科學(xué)態(tài)度
教學(xué)重難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):二次根式的概念
教學(xué)難點(diǎn):二次根式中根號(hào)下必須為非負(fù)數(shù)
教學(xué)過程
一、課前回顧
。2分鐘)
學(xué)生與老師共同回顧上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,溫故而知新。 什么是二次根式?
二次根式中字母的取值范圍:
①被開方數(shù)大于等于零;
、诜帜钢杏凶帜笗r(shí),要保證分母不為零。
、鄱鄠(gè)條件組合時(shí),應(yīng)用不等式組求解
一、情境引入(3分鐘)
由生活中的實(shí)例引入投影的概念,引起學(xué)生的.學(xué)習(xí)興趣
已知下列各正方形的面積,求其邊長。
二、探究1(10分鐘)
練習(xí)1:
計(jì)算下列各式:
三、探究2(10分鐘)
可以發(fā)現(xiàn)它們有如下規(guī)律:
一般的,二次根式有下列性質(zhì):
練習(xí)2:
典型例題 例1:計(jì)算:
例2:計(jì)算:
達(dá)標(biāo)測試(5分鐘)
課堂測試,檢驗(yàn)學(xué)習(xí)結(jié)果
1、判斷題
2、若 ,則x的取值范圍為 ( A )
。ˋ) x≤1 (B) x≥1
。–) 0≤x≤1 (D)一切有理數(shù)
3、計(jì)算
4、化簡
5、已知a,b,c為△ABC的三邊長,化簡:
這一類問題注意把二次根式的運(yùn)算搭載在三角形三邊之間的關(guān)系這個(gè)知識(shí)點(diǎn)上,特別要應(yīng)用好。
應(yīng)用提高(5分鐘)
能力提升,學(xué)有余力的同學(xué)可以仔細(xì)研究 如圖,P是直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)。
。1)用二次根式表示點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離;
。2)如果 求點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離
體驗(yàn)收獲 今天我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)
二次根式的兩條性質(zhì)。
布置作業(yè) 教材8頁習(xí)題第3、4題。
二次根式教案5
一、復(fù)習(xí)引入
學(xué)生活動(dòng):請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題:
1.計(jì)算
。1)(2x+y)·zx(2)(2x2y+3xy2)÷xy
二、探索新知
如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢?以上的運(yùn)算規(guī)律是否仍成立呢?仍成立.
整式運(yùn)算中的x、y、z是一種字母,它的意義十分廣泛,可以代表所有一切,當(dāng)然也可以代表二次根式,所以,整式中的運(yùn)算規(guī)律也適用于二次根式.
例1.計(jì)算:
(1)(+)×(2)(4-3)÷2分析:剛才已經(jīng)分析,二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律,所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律.
解:(1)(+)×=×+×=+=3+2解:(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-例2.計(jì)算
(1)(+6)(3-)(2)(+)(-)
分析:剛才已經(jīng)分析,二次根式的.多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法公式運(yùn)算中仍然成立.
解:(1)(+6)(3-)
=3-()2+18-6=13-3(2)(+)(-)=()2-()2
=10-7=3
三、鞏固練習(xí)
課本P20練習(xí)1、2.
四、應(yīng)用拓展
例3.已知=2-,其中a、b是實(shí)數(shù),且a+b≠0,
化簡+,并求值.
分析:由于(+)(-)=1,因此對(duì)代數(shù)式的化簡,可先將分母有理化,再通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到x的值,代入化簡得結(jié)果即可?
二次根式教案6
一、教學(xué)目標(biāo)
1。使學(xué)生知道什么是最簡二次根式,遇到實(shí)際式子能夠判斷是不是最簡二次根式。
2。使學(xué)生掌握化簡一個(gè)二次根式成最簡二次根式的方法。
3。使學(xué)生了解把二次根式化簡成最簡二次根式在實(shí)際問題中的應(yīng)用。
二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
1。重點(diǎn):能夠把所給的二次根式,化成最簡二次根式。
2。難點(diǎn):正確運(yùn)用化一個(gè)二次根式成為最簡二次根式的方法。
三、教學(xué)方法
通過實(shí)際運(yùn)算的例子,引出最簡二次根式的概念,再通過解題實(shí)踐,總結(jié)歸納化簡二次根式的方法。
四、教學(xué)手段
利用投影儀。
五、教學(xué)過程
。ㄒ唬┮胄抡n
提出問題:如果一個(gè)正方形的面積是0。5m2,那么它的邊長是多少?能不能求出它的近似值?
了。這樣會(huì)給解決實(shí)際問題帶來方便。
。ǘ┬抡n
由以上例子可以看出,遇到一個(gè)二次根式將它化簡,為解決問題創(chuàng)
這兩個(gè)二次根式化簡前后有什么不同,這里要引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)方面考慮,一方面是被開方數(shù)的因數(shù)化簡后是否是整數(shù)了,另一方面被開方數(shù)中還有沒有開得盡方的因數(shù)。
總結(jié)滿足什么樣的條件是最簡二次根式。即:滿足下列兩個(gè)條件的二次根式,叫做最簡二次根式:
1。被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式。
2。被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。
例1 指出下列根式中的最簡二次根式,并說明為什么。
分析:
說明:這里可以向?qū)W生說明,前面兩小節(jié)化簡二次根式,就是要求化成最簡二次根式。前面二次根式的運(yùn)算結(jié)果也都是最簡二次根式。
例2 把下列各式化成最簡二次根式:
說明:引導(dǎo)學(xué)生觀察例2題中二次根式的`特點(diǎn),即被開方數(shù)是整式或整數(shù),再啟發(fā)學(xué)生總結(jié)這類題化簡的方法,先將被開方數(shù)或被開方式分解因數(shù)或分解因式,然后把開得盡方的因數(shù)或因式開出來,從而將式子化簡。
例3 把下列各式化簡成最簡二次根式:
說明:
1。引導(dǎo)學(xué)生觀察例題3中二次根式的特點(diǎn),即被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式,再啟發(fā)學(xué)生總結(jié)這類題化簡的方法,先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式的形式,然后利用分母有理化化簡。
2。要提問學(xué)生
問題,通過這個(gè)小題使學(xué)生明確如何使用化簡中的條件。
通過例2、例3總結(jié)把一個(gè)二次根式化成最簡二次根式的兩種情況,并引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)應(yīng)該注意的問題。
注意:
、倩啎r(shí),一般需要把被開方數(shù)分解因數(shù)或分解因式。
②當(dāng)一個(gè)式子的分母中含有二次根式時(shí),一般應(yīng)該把它化簡成分母中不含二次根式的式子,也就是把它的分母進(jìn)行有理化。
。ㄈ┬〗Y(jié)
1。滿足什么條件的根式是最簡二次根式。
2。把一個(gè)二次根式化成最簡二次根式的主要方法。
(四)練習(xí)
1。指出下列各式中的最簡二次根式:
2。把下列各式化成最簡二次根式:
六、作業(yè)
教材P。187習(xí)題11。4;A組1;B組1。
七、板書設(shè)計(jì)
二次根式教案7
教學(xué)目的:
1、在二次根式的混合運(yùn)算中,使學(xué)生掌握應(yīng)用有理化分母的方法化簡和計(jì)算二次根式;
2、會(huì)求二次根式的代數(shù)的值;
3、進(jìn)一步提高學(xué)生的綜合運(yùn)算能力。
教學(xué)重點(diǎn):在二次根式的混合運(yùn)算中,靈活選擇有理化分母的方法化簡二次根式
教學(xué)難點(diǎn):正確進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算和求含有二次根式的代數(shù)式的值
教學(xué)過程:
一、二次根式的混合運(yùn)算
例1 計(jì)算:
分析:(1)題是二次根式的加減運(yùn)算,可先把前三個(gè)二次根式化最簡二次根式,把第四式的分母有理化,然后再進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算。
(2)題是含乘方、加、減和除法的混合運(yùn)算,應(yīng)按運(yùn)算的順序進(jìn)行計(jì)算,先算括號(hào)內(nèi)的式子,最后進(jìn)行除法運(yùn)算。注意的計(jì)算。
練習(xí)1:P206 / 8--① P207 / 1①②
例2 計(jì)算
問:計(jì)算思路是什么?
答:先把第一人的.括號(hào)內(nèi)的式子通分,把第二個(gè)括號(hào)內(nèi)的式子的分母有理化,再進(jìn)行計(jì)算。
二、求代數(shù)式的值。 注意兩點(diǎn):
(1)如果已知條件為含二次根式的式子,先把它化簡;
(2)如果代數(shù)式是含二次根式的式子,應(yīng)先把代數(shù)式化簡,再求值。
例3 已知,求的值。
分析:多項(xiàng)式可轉(zhuǎn)化為用與表示的式子,因此可根據(jù)已知條件中的及的值。求得與的值。在計(jì)算中,先把及的式了有理化分母。可使計(jì)算簡便。
例4 已知,求的值。
觀察代數(shù)式的特點(diǎn),請(qǐng)說出求這個(gè)代數(shù)式的值的思路。
答:所求的代數(shù)式中,相減的兩個(gè)式子的分母都含有二次根式,為化去它們的分母中的根號(hào),可以分別先把各自的分母有理化或進(jìn)行]通分,把這個(gè)代數(shù)式化簡后,再求值。
三、小結(jié)
1、對(duì)于二次根式的混合混合運(yùn)算。應(yīng)根據(jù)二次根式的加、減、乘除和乘方運(yùn)算的順序進(jìn)行,即先進(jìn)行乘方運(yùn)算,再進(jìn)行乘、除運(yùn)算,最后進(jìn)行加、減運(yùn)算。如果有括號(hào),先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的式子的運(yùn)算,運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式。
2、在代數(shù)式求值問題中,如果已知條件所求式子中有含二次根式(或分式)的式子,應(yīng)先把它們化簡,然后再求值。
3、在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí),要根據(jù)題目特點(diǎn),靈活選擇解題方法,目的在于使計(jì)算更簡捷。
四、作業(yè)
P206 / 7 P206 / 8---②③
二次根式教案8
教學(xué)目標(biāo)
1、根據(jù)了解二次根式的概念:
2、知道被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由;
3、能運(yùn)用二次根式的性質(zhì)解決實(shí)際問題
4新設(shè)計(jì):我們知道,用字母表示數(shù),可以將字母和數(shù)一起運(yùn)算。前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式、多項(xiàng)式和分式等概念和運(yùn)算,可以發(fā)現(xiàn),式的運(yùn)算本質(zhì)上就是對(duì)符號(hào)運(yùn)用運(yùn)算律所進(jìn)行的形式運(yùn)算。本節(jié)課主要討論如何對(duì)數(shù)和字母開平方而得到的特殊式子——二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算。前面我們學(xué)習(xí)的平方根和算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)是學(xué)習(xí)二次根式的基礎(chǔ),我們先來回憶一下平方根和算術(shù)平方根的有關(guān)知識(shí)。
5、新設(shè)計(jì):問題1平方根的概念,算術(shù)平方根的概念,平方根的性質(zhì)。
6、學(xué)情分析:本班40名學(xué)生,成績參差不齊,程度差距很大,鑒于此,對(duì)于學(xué)生要分層教學(xué)。
7、重點(diǎn)難點(diǎn):1.重點(diǎn):形如(a≥0)的式子叫做二次根式的概念;2.難點(diǎn):運(yùn)用二次根式的性質(zhì)解決實(shí)際問題。
8、教學(xué)過程6.1第一學(xué)時(shí)教學(xué)活動(dòng)
活動(dòng)1【講授】二次根式
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
創(chuàng)設(shè)情境,提出問題
引言
我們知道,用字母表示數(shù),可以將字母和數(shù)一起運(yùn)算。前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式、多項(xiàng)式和分式等概念和運(yùn)算,可以發(fā)現(xiàn),式的運(yùn)算本質(zhì)上就是對(duì)符號(hào)運(yùn)用運(yùn)算律所進(jìn)行的形式運(yùn)算。本節(jié)課主要討論如何對(duì)數(shù)和字母開平方而得到的特殊式子——二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算。前面我們學(xué)習(xí)的平方根和算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)是學(xué)習(xí)二次根式的基礎(chǔ),我們先來回憶一下平方根和算術(shù)平方根的有關(guān)知識(shí)。
問題1平方根的概念,算術(shù)平方根的概念,平方根的性質(zhì)。
師生活動(dòng):給學(xué)生充分思考和討論時(shí)間,讓他們回憶有關(guān)平方根和算術(shù)平方根的有關(guān)知識(shí),才能在此基礎(chǔ)上再進(jìn)一步研究二次根式概念。
設(shè)計(jì)意圖:回顧已學(xué)的數(shù)和式的運(yùn)算,叢數(shù)和式運(yùn)算的完整性角度提出要研究的問題,讓學(xué)生了解本章將要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容,起到先行組織者的作用。
問題2請(qǐng)思考下列問題
面積為3的正方形的邊長為,面積為S的正方形邊長為。
一個(gè)長方形圍欄,長是寬的2倍,面積為130㎡,則它的.寬為m。
一個(gè)物體從高處自由落下,落在地面所用的時(shí)間t(單位:s)與開始落下的高度h(單位:m)滿足關(guān)系h=5t2。如果用含有h的式子表示t,則t為。
師生活動(dòng):學(xué)生思考并完成上述問題,用算術(shù)平方根表示結(jié)果,教師進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)和評(píng)價(jià)。關(guān)鍵是幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從數(shù)的算術(shù)平方根到用含有字母的式子表示算術(shù)平方根的抽象。
設(shè)計(jì)意圖:為概括二次根式的概念提供具體例子,同時(shí)發(fā)展符號(hào)意識(shí)。
抽象概括,形成概念
問題3上面得到的式子有什么共同特征?
師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生概括得出共同特征,并給出二次根式的定義。
追問1中a的取值有要求嗎?為什么?
師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生討論,分析共同特點(diǎn),歸納得到二次根式的概念,并強(qiáng)調(diào)“被開方數(shù)非負(fù)”。
追問2二次根式有什么樣的特點(diǎn)?
師生活動(dòng):給學(xué)生充分的思考和討論時(shí)間,讓學(xué)生總結(jié)二次根式的特點(diǎn),教師歸納總結(jié)。
設(shè)計(jì)意圖:采用從具體到抽象的方式,通過歸納的出二次根式的概念。
辨析概念,應(yīng)用鞏固
例1下列各式是二次根式嗎?
師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生從二次根式的特征出發(fā)思考問題。
例2求下列二次根式中字母的取值范圍:
師生活動(dòng):教師可以通過問題“觀察各式被開方數(shù)是什么?你能根據(jù)二次根式的概念的帶答案嗎?”引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)思考問題。
追問:求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù):
師生活動(dòng):給學(xué)生充分的思考和討論時(shí)間,讓學(xué)生總結(jié)回答,教師歸納總結(jié)。
問題4 x取何值時(shí),下列二次根式有意義?
師生活動(dòng):學(xué)生搶答加分,調(diào)動(dòng)學(xué)大亨的積極性。
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生獨(dú)立思考,再追問。
問題5計(jì)算
師生活動(dòng):通過簡單計(jì)算讓學(xué)生總結(jié)規(guī)律。
例3計(jì)算
師生活動(dòng):學(xué)生直接回答。
設(shè)計(jì)意圖:通過加分制調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,提高學(xué)生的注意力,通過練習(xí)鞏固知識(shí)點(diǎn)。
問題7計(jì)算
師生活動(dòng):通過簡單計(jì)算讓學(xué)生總結(jié)規(guī)律。
追問:
師生活動(dòng):學(xué)生討論回答,教師歸納總結(jié)。
設(shè)計(jì)意圖:通過簡單計(jì)算學(xué)生自己歸納總結(jié)二次根式的性質(zhì),加深學(xué)生的印象。
綜合應(yīng)用,深化提高
練習(xí)1學(xué)生完成教科書第3頁的練習(xí)。
練習(xí)2若1<x<4,則化簡
設(shè)計(jì)意圖:辨別二次根式的概念,確定二次根式有意的條件。利用二次根式的性質(zhì)解題。
小結(jié)
教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容,并請(qǐng)學(xué)生回答下列問題:
什么叫二次根式?二次根式有意義的條件是什么?二次根式的值的范圍是什么?
二次根式與算術(shù)平方根有什么聯(lián)系與區(qū)別?
我們以前學(xué)過整式、分式都能像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算,你認(rèn)為對(duì)于二次根式應(yīng)該進(jìn)一步研究哪些問題?
設(shè)計(jì)意圖:共同回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念,再次練習(xí)算術(shù)平方根理解二次根式的概念,提出二次根式應(yīng)該研究的問題。
布置作業(yè)
教科書習(xí)題16.1第1、2題。
教學(xué)反思:
1、在實(shí)際授課中,通過以下步驟讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解、并掌握本節(jié)知識(shí):
。1)讓學(xué)生回顧了算術(shù)平方根與平方根的概念,并且通過一個(gè)思考欄目的兩道題,得出二次根式的定義后又復(fù)習(xí)了算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性;
。2)通過練習(xí)掌握如何判斷一個(gè)式子是否是二次根式的條件,并經(jīng)過例1掌握二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件;
(3)通過練習(xí)讓學(xué)生得出二次根式的兩個(gè)性質(zhì),體會(huì)從特殊到一般的思維過程,進(jìn)而掌握公式的一般推導(dǎo)方法;……,本節(jié)課大部分時(shí)間都是引導(dǎo)學(xué)生邊學(xué)邊做,讓學(xué)生經(jīng)歷了整個(gè)學(xué)習(xí)過程。
2.在學(xué)習(xí)過程中,突出了引導(dǎo)學(xué)生自己得出結(jié)論,特別是二次根式的兩個(gè)性質(zhì),在做完思考題之后,學(xué)生自己就初步得出了結(jié)論,而且通過其他學(xué)生的補(bǔ)充越來越完善。
3.讓學(xué)生自己找出性質(zhì)1和性質(zhì)2的區(qū)別與聯(lián)系,雖然不夠系統(tǒng)和完整,但通過這樣的訓(xùn)練,培養(yǎng)了學(xué)生總結(jié)規(guī)律的能力。
4.在實(shí)際教學(xué)中,仍然存在著對(duì)課堂時(shí)間把握不精確的問題,出現(xiàn)了前松后緊的現(xiàn)象,以致有深度的練習(xí)沒時(shí)間完成,結(jié)束的也比較倉促。在今后教學(xué)中,應(yīng)注意時(shí)間的掌控。
5.在引導(dǎo)學(xué)生探索求知和互動(dòng)學(xué)習(xí)方面還有欠缺。新的教學(xué)理念要求教師在課堂教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生探究學(xué)習(xí),在我的課堂教學(xué)中,對(duì)學(xué)生探索求知進(jìn)行了引導(dǎo),并且鼓勵(lì)大家自己得出結(jié)論,但在互動(dòng)方面做的還不夠,大部分學(xué)生都是獨(dú)立思考,很少與同學(xué)合作交流,今后的教學(xué)中應(yīng)多培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí),這樣有助于他們今后的生活和學(xué)習(xí)。
二次根式教案9
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1、內(nèi)容
二次根式的概念。
2、內(nèi)容解析
本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念,會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、立方根,知道開方與乘方互為逆運(yùn)算的基礎(chǔ)上,來學(xué)習(xí)二次根式的概念。它不僅是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用,也為后面學(xué)習(xí)二次根式的性質(zhì)和四則運(yùn)算打基礎(chǔ)。
教材先設(shè)置了三個(gè)實(shí)際問題,這些問題的結(jié)果都可以表示成二次根式的形式,它們都表示一些正數(shù)的算術(shù)平方根,由此引出二次根式的定義。再通過例1討論了二次根式中被開方數(shù)字母的取值范圍的問題,加深學(xué)生對(duì)二次根式的定義的理解。
本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是:了解二次根式的概念;
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1、教學(xué)目標(biāo)
。1)體會(huì)研究二次根式是實(shí)際的需要。
。2)了解二次根式的概念。
2、教學(xué)目標(biāo)解析
。1)學(xué)生能用二次根式表示實(shí)際問題中的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系,體會(huì)研究二次根式的必要性。
。2)學(xué)生能根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次根式的概念,知道被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由,知道二次根式本身是一個(gè)非負(fù)數(shù),會(huì)求二次根式中被開方數(shù)字母的取值范圍。
三、教學(xué)問題診斷分析
對(duì)于二次根式的定義,應(yīng)側(cè)重讓學(xué)生理解“的雙重非負(fù)性,”即被開方數(shù)≥0是非負(fù)數(shù),的算術(shù)平方根≥0也是非負(fù)數(shù)。教學(xué)時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生回憶在實(shí)數(shù)一章所學(xué)習(xí)的有關(guān)平方根的意義和特征,幫助學(xué)生理解這一要求,從而讓學(xué)生得出二次根式成立的條件,并運(yùn)用被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)這一條件進(jìn)行二次根式有意義的判斷。
本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為:理解二次根式的雙重非負(fù)性。
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
1、創(chuàng)設(shè)情境,提出問題
問題1你能用帶有根號(hào)的的式子填空嗎?
(1)面積為3的正方形的邊長為_______,面積為S的正方形的邊長為_______。
(2)一個(gè)長方形圍欄,長是寬的2倍,面積為130?,則它的'寬為______。
(3)一個(gè)物體從高處自由落下,落到地面所用的時(shí)間t(單位:s)與開始落下的高度h(單位:)滿足關(guān)系h=5t?,如果用含有h的式子表示t,則t=_____。
師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立完成上述問題,用算術(shù)平方根表示結(jié)果,教師進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)和評(píng)價(jià)。
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在填空過程中初步感知二次根式與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系,體會(huì)研究二次根式的必要性。
問題2上面得到的式子,,分別表示什么意義?它們有什么共同特征?
師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生說出各式的意義,概括它們的共同特征:都表示一個(gè)非負(fù)數(shù)(包括字母或式子表示的非負(fù)數(shù))的算術(shù)平方根。
【設(shè)計(jì)意圖】為概括二次根式的概念作鋪墊。
2、抽象概括,形成概念
問題3你能用一個(gè)式子表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根嗎?
師生活動(dòng):學(xué)生小組討論,全班交流。教師由此給出二次根式的定義:一般地,我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”稱為二次根號(hào)。
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的過程,培養(yǎng)學(xué)生的概括能力。
追問:在二次根式的概念中,為什么要強(qiáng)調(diào)“a≥0”?
師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生討論,知道二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由。
【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理解。
3、辨析概念,應(yīng)用鞏固
例1當(dāng)時(shí)怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?
師生活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)進(jìn)行思考,鞏固學(xué)生對(duì)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的理解。
例2當(dāng)是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?呢?
師生活動(dòng):先讓學(xué)生獨(dú)立思考,再追問。
【設(shè)計(jì)意圖】在辨析中,加深學(xué)生對(duì)二次根式被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的理解。
問題4你能比較與0的大小嗎?
師生活動(dòng):通過分和這兩種情況的討論,比較與0的大小,引導(dǎo)學(xué)生得出≥0的結(jié)論,強(qiáng)化學(xué)生對(duì)二次根式本身為非負(fù)數(shù)的理解,
【設(shè)計(jì)意圖】通過這一活動(dòng)的設(shè)計(jì),提高學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的遷移能力和應(yīng)用意識(shí);培養(yǎng)學(xué)生分類討論和歸納概括的能力。
4、綜合運(yùn)用,鞏固提高
練習(xí)1完成教科書第3頁的練習(xí)。
練習(xí)2當(dāng)x是什么實(shí)數(shù)時(shí),下列各式有意義。
。1);(2);(3);(4)。
【設(shè)計(jì)意圖】辨析二次根式的概念,確定二次根式有意義的條件。
【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)有一定綜合性的題目,考查學(xué)生的靈活運(yùn)用的能力,開闊學(xué)生的視野,訓(xùn)練學(xué)生的思維。
5、總結(jié)反思
教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容,并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題。
。1)本節(jié)課你學(xué)到了哪一類新的式子?
(2)二次根式有意義的條件是什么?二次根式的值的范圍是什么?
。3)二次根式與算術(shù)平方根有什么關(guān)系?
師生活動(dòng):教師引導(dǎo),學(xué)生小結(jié)。
【設(shè)計(jì)意圖】:學(xué)生共同總結(jié),互相取長補(bǔ)短,再一次突出本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn),掌握解題方法。
6。布置作業(yè):
教科書習(xí)題16。1第1,3,5,7,10題。
五、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)
1、下列各式中,一定是二次根式的是()
A。B。C。D。
【設(shè)計(jì)意圖】考查對(duì)二次根式概念的了解,要特別注意被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)。
2、當(dāng)時(shí),二次根式無意義。
【設(shè)計(jì)意圖】考查二次根式無意義的條件,即被開方數(shù)小于0,要注意審題。
3、當(dāng)時(shí),二次根式有最小值,其最小值是。
【設(shè)計(jì)意圖】本題主要考查二次根式被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)的靈活運(yùn)用。
4、對(duì)于,小紅根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù),得出的取值范圍是≥。小慧認(rèn)為還應(yīng)考慮分母不為0的情況。你認(rèn)為小慧的想法正確嗎?試求出的取值范圍。
【設(shè)計(jì)意圖】考查二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)和一個(gè)式子的分母不能為0,解題時(shí)需要綜合考慮。
二次根式教案10
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1.內(nèi)容
二次根式的性質(zhì)。
2.內(nèi)容解析
本節(jié)教材是在學(xué)生學(xué)習(xí)二次根式概念的基礎(chǔ)上,結(jié)合二次根式的概念和算術(shù)平方根的概念,通過觀察、歸納和思考得到二次根式的兩個(gè)基本性質(zhì).
對(duì)于二次根式的性質(zhì),教材沒有直接從算術(shù)平方根的意義得到,而是考慮學(xué)生的年齡特征,先通過 “探究”欄目中給出四個(gè)具體問題,讓學(xué)生學(xué)生根據(jù)算術(shù)平方根的意義,就具體數(shù)字進(jìn)行分析得出結(jié)果,再分析這些結(jié)果的共同特征,由特殊到一般地歸納出結(jié)論.基于以上分析,確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為:理解二次根式的性質(zhì).
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1.教學(xué)目標(biāo)
。1)經(jīng)歷探索二次根式的性質(zhì)的過程,并理解其意義;
(2)會(huì)運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡;
。3)了解代數(shù)式的概念.
2.目標(biāo)解析
。1)學(xué)生能根據(jù)具體數(shù)字分析和算術(shù)平方根的意義,由特殊到一般地歸納出二次根式的性質(zhì),會(huì)用符號(hào)表述這一性質(zhì);
。2)學(xué)生能靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡;
。3)學(xué)生能從已學(xué)過的各種式子中,體會(huì)其共同特點(diǎn),得出代數(shù)式的.概念.
三、教學(xué)問題診斷分析
二次根式的性質(zhì)是二次根式化簡和運(yùn)算的重要基礎(chǔ).學(xué)生根據(jù)二次根式的概念和算術(shù)平方根的意義,由特殊到一般地得出二次根式的性質(zhì)后,重在能靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡和解決一些綜合性較強(qiáng)的問題.由于學(xué)生初次學(xué)習(xí)二次根式的性質(zhì),對(duì)二次根式性質(zhì)的靈活運(yùn)用存在一定的困難,突破這一難點(diǎn)需要教師精心設(shè)計(jì)好每一道習(xí)題,讓學(xué)生在練習(xí)中進(jìn)一步掌握二次根式的性質(zhì),培養(yǎng)其靈活運(yùn)用的能力.
本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為:二次根式性質(zhì)的靈活運(yùn)用.
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
1.探究性質(zhì)1
問題1 你能解釋下列式子的含義嗎?
師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生說出每一個(gè)式子的含義.
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生初步感知,這些式子都表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方.
問題2 根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空,并說出得到結(jié)論的依據(jù).
師生活動(dòng) 學(xué)生獨(dú)立完成填空后,讓學(xué)生展示其思維過程,說出得到結(jié)論的依據(jù).
【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過計(jì)算或根據(jù)算術(shù)平方根的意義得出結(jié)論,為歸納二次根式的性質(zhì)1作鋪墊.
問題3 從以上的結(jié)論中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你能用一個(gè)式子表示這個(gè)規(guī)律嗎?
師生活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生歸納得出二次根式的性質(zhì): ( ≥0).
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程,概括出二次根式的性質(zhì)1,培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力.
例2 計(jì)算
(1) ;(2) .
師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立完成,集體訂正.
【設(shè)計(jì)意圖】鞏固二次根式的性質(zhì)1,學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.
2.探究性質(zhì)2
問題4 你能解釋下列式子的含義嗎?
師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生說出每一個(gè)式子的含義.
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生初步感知,這些式子都表示一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根.
問題5 根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空,并說出得到結(jié)論的依據(jù).
師生活動(dòng) 學(xué)生獨(dú)立完成填空后,讓學(xué)生展示其思維過程,說出得到結(jié)論的依據(jù).
【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過計(jì)算或根據(jù)算術(shù)平方根的意義得出結(jié)論,為歸納二次根式的性質(zhì)2作鋪墊.
問題6 從以上的結(jié)論中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你能用一個(gè)式子表示這個(gè)規(guī)律嗎?
師生活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生歸納得出二次根式的性質(zhì): ( ≥0)
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程,概括出二次根式的性質(zhì)2,培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力.
例3 計(jì)算
。1) ;(2) .
師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立完成,集體訂正.
【設(shè)計(jì)意圖】鞏固二次根式的性質(zhì)2,學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.
3.歸納代數(shù)式的概念
問題7 回顧我們學(xué)過的式子,如, ( ≥0),這些式子有哪些共同特征?
師生活動(dòng):學(xué)生概括式子的共同特征,得出代數(shù)式的概念.
【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過觀察式子的共同特征,形成代數(shù)式的概念,培養(yǎng)學(xué)生的概括能力.
4.綜合運(yùn)用
。1)算一算:
【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)有一定綜合性的題目,考查學(xué)生的靈活運(yùn)用的能力,第(2)、(3)、(4)小題要特別注意結(jié)果的符號(hào).
(2)想一想: 中, 的取值范圍是什么?當(dāng) ≥0時(shí), 等于多少?當(dāng) 時(shí), 又等于多少?
【設(shè)計(jì)意圖】通過此問題的設(shè)計(jì),加深學(xué)生對(duì) 的理解,開闊學(xué)生的視野,訓(xùn)練學(xué)生的思維.
(3)談一談你對(duì) 與 的認(rèn)識(shí).
【設(shè)計(jì)意圖】加深學(xué)生對(duì)二次根式性質(zhì)的理解.
5.總結(jié)反思
。1)你知道了二次根式的哪些性質(zhì)?
。2)運(yùn)用二次根式性質(zhì)進(jìn)行化簡需要注意什么?
(3)請(qǐng)談?wù)劙l(fā)現(xiàn)二次根式性質(zhì)的思考過程?
(4)想一想,到現(xiàn)在為止,你學(xué)習(xí)了哪幾類字母表示數(shù)得到的式子?說說你對(duì)代數(shù)式的認(rèn)識(shí).
6.布置作業(yè):教科書習(xí)題16.1第2,4題.
五、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)
1. ; ; .
【設(shè)計(jì)意圖】考查對(duì)二次根式性質(zhì)的理解.
2.下列運(yùn)算正確的是( )
A. B. C. D.
【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡的能力.
3.若 ,則 的取值范圍是 .
【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對(duì)一個(gè)數(shù)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的理解.
4.計(jì)算: .
【設(shè)計(jì)意圖】考查二次根式性質(zhì)的靈活運(yùn)用.
二次根式教案11
教學(xué)目標(biāo)
課標(biāo)要求:學(xué)生要學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí),要為學(xué)生終生學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),根據(jù)教學(xué)大綱和新課標(biāo)的要求,根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生的特點(diǎn)我確定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo) 1、了解二次根式的概念 2、了解二次根式的基本性質(zhì),經(jīng)歷觀察、比較、總結(jié)二次根式的基本性質(zhì)的過程,發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力。 3、通過對(duì)二次根式的概念和性質(zhì)的探究,提高數(shù)學(xué)探究能力和歸納表達(dá)能力。 4、學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、總結(jié)和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng),感受數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿了探索性與創(chuàng)造性,體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂趣,并提高應(yīng)用的意識(shí)。
教學(xué)重點(diǎn):二次根式的概念和基本性質(zhì)
教學(xué)難點(diǎn):二次根式的基本性質(zhì)的靈活運(yùn)用
教法和學(xué)法
教學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)是一種合作,一種交流。學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人,教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者,本節(jié)課主要采用自主學(xué)習(xí),合作探究,引領(lǐng)提升的方式展開教學(xué)。依據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和已有的知識(shí)基礎(chǔ),本節(jié)課注重加強(qiáng)知識(shí)間的縱向聯(lián)系,,拓展學(xué)生探索的空間,體現(xiàn)由具體到抽象的認(rèn)識(shí)過程。為了為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),例如在“銳角三角函數(shù)”一章中,會(huì)遇到很多實(shí)際問題,在解決實(shí)際問題的過程中,要遇到將二次根式化成最簡二次根式等,本課適當(dāng)加強(qiáng)練習(xí),讓學(xué)生養(yǎng)成聯(lián)系和發(fā)展的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣。
教學(xué)過程
活動(dòng)一:根據(jù)學(xué)生已有知識(shí)探究二次根式的概念 1.探究二次根式概念 由四個(gè)實(shí)際問題(三個(gè)幾何問題,一個(gè)物理問題)入手,設(shè)置問題情境,讓學(xué)生感受到研究二次根式來源于生活又服務(wù)于生活。 思考:用帶有根號(hào)的式子填空,看看寫出的結(jié)果有什么特點(diǎn)? (1)要做一個(gè)兩條直角邊的長分別為7cm和4cm的三角尺,斜邊的長應(yīng)為 cm
(2)面積為S的正方形的邊長為
(3)要修建一個(gè)面積為6.28m2的圓形噴水池,它的半徑為m(∏取3.14)
(4)一個(gè)物體從高處自由落下,落到地面所用的時(shí)間t(單位:s)與開始落下時(shí)的高度h(單位:m)滿足關(guān)系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,則t= 學(xué)生發(fā)現(xiàn)所填結(jié)果都表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根,教師引導(dǎo)學(xué)生用一個(gè)式子表示這些有共同特點(diǎn)的式子。學(xué)生表示為,此時(shí)教師啟發(fā)學(xué)生回憶已學(xué)平方根的性質(zhì)讓學(xué)生總結(jié)出a這一條件。在此基礎(chǔ)上總結(jié)出二次根式的概念。 2.例題評(píng)析 例1:哪些為二次根式? 練習(xí):x取何值時(shí)下列各式有意義,通過4小題的訓(xùn)練,讓學(xué)生體會(huì)二次根式概念的初步應(yīng)用。加深對(duì)二次根式定義的理解,并注重新舊知識(shí)間的聯(lián)系,用轉(zhuǎn)化的思想解決問題,總結(jié)出解題規(guī)律:求未知數(shù)的取值范圍即轉(zhuǎn)化為①被開方數(shù)大于等于0②分母不為0列不等式或不等式組解決問題。
活動(dòng)二:探究二次根式的性質(zhì)1 1.探究(a)與0的關(guān)系 學(xué)生分類討論探究出:(a)是一個(gè)非負(fù)數(shù),此時(shí)歸納出二次根式的第一個(gè)性質(zhì):雙重非負(fù)性。培養(yǎng)學(xué)生的分類討論和概括能力。例2:,則變式:,
活動(dòng)三:探究二次根式的性質(zhì)2 探究()2=a(a)由課本具體的正數(shù)和零入手來研究二次根式的`第二個(gè)性質(zhì),首先讓學(xué)生通過探究活動(dòng)感受這條結(jié)論,然后再從算術(shù)平方根的意義出發(fā),結(jié)合具體例子對(duì)這條結(jié)論進(jìn)行分析,引導(dǎo)學(xué)生由具體到抽象,得出一般的結(jié)論,并發(fā)現(xiàn)開平方運(yùn)算與平方運(yùn)算的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的思維方式,提高歸納、總結(jié)的能力。前兩題學(xué)生口述教師板書,后面的兩題由學(xué)生板演引導(dǎo)學(xué)生分析(2)(4)實(shí)質(zhì)是積的乘方和分式的乘方 拓展:反之(a)如 為后面的化最簡二次根式(簡單的分母有理化)做好鋪墊。 例4:在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式
活動(dòng)四:探究二次根式的性質(zhì)3 3.探究 在活動(dòng)三的基礎(chǔ)上出示課本第4頁的探究: 引導(dǎo)學(xué)生比較活動(dòng)三與活動(dòng)四探究中兩組題目的不同之處,活動(dòng)三中的題目是對(duì)非負(fù)數(shù)先進(jìn)行開平方運(yùn)算,再進(jìn)行平方運(yùn)算;而活動(dòng)四中的題目正好相反,是先進(jìn)行平方運(yùn)算,再進(jìn)行開平方運(yùn)算。再次由特殊到一般的讓學(xué)生歸納出二次根式的又一個(gè)性質(zhì)。培養(yǎng)學(xué)生觀察、對(duì)比的能力和意識(shí)。 此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生談一談對(duì)()2和的聯(lián)系和區(qū)別 相同點(diǎn):①都有平方和開平方運(yùn)算 ②運(yùn)算結(jié)果都是非負(fù)數(shù) ③僅當(dāng)a時(shí),()2= 不同點(diǎn):①從形式和運(yùn)算順序看:()2先開方后平方,先平方后開方 ②從a的取值范圍看:()2(a),(a為任意數(shù)) ③從運(yùn)算結(jié)果看:()2=a(a),(a為任意數(shù)
二次根式教案12
一、學(xué)習(xí)目標(biāo):
1.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則及其應(yīng)用.
2.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算算理.
二、重點(diǎn)難點(diǎn):
重點(diǎn):多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則及其應(yīng)用
難點(diǎn):探索多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的運(yùn)算法則的過程
三、合作學(xué)習(xí):
(一)回顧單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則
(二)學(xué)生動(dòng)手,探究新課
1.計(jì)算下列各式:
(1)(am+bm)÷m (2)(a2+ab)÷a (3)(4x2y+2xy2)÷2xy.
2.提問:①說說你是怎樣計(jì)算的②還有什么發(fā)現(xiàn)嗎?
(三) 總結(jié)法則
1.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式:先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以___________,再把所得的商______
2.本質(zhì):把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成______________
四、精講精練
例:(1)(12a3-6a2+3a)÷3a; (2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y);
(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x (4)(-6a3b3+ 8a2b4+10a2b3+2ab2)÷(-2ab2)
隨堂練習(xí):教科書練習(xí)
五、小結(jié)
1、單項(xiàng)式的除法法則
2、應(yīng)用單項(xiàng)式除法法則應(yīng)注意:
A、系數(shù)先相除,把所得的結(jié)果作為商的系數(shù),運(yùn)算過程中注意單項(xiàng)式的系數(shù)飽含它前面的符號(hào)
B、把同底數(shù)冪相除,所得結(jié)果作為商的因式,由于目前只研究整除的情況,所以被除式中某一字母的指數(shù)不小于除式中同一字母的指數(shù);
C、被除式單獨(dú)有的字母及其指數(shù),作為商的一個(gè)因式,不要遺漏;
D、要注意運(yùn)算順序,有乘方要先做乘方,有括號(hào)先算括號(hào)里的',同級(jí)運(yùn)算從左到右的順序進(jìn)行.
E、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則
第三十四學(xué)時(shí):14.2.1平方差公式
一、學(xué)習(xí)目標(biāo):
1.經(jīng)歷探索平方差公式的過程.
2.會(huì)推導(dǎo)平方差公式,并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算.
二、重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn):平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用
難點(diǎn):理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征,靈活應(yīng)用平方差公式.
三、合作學(xué)習(xí)
你能用簡便方法計(jì)算下列各題嗎?
(1)20xx×1999 (2)998×1002
導(dǎo)入新課:計(jì)算下列多項(xiàng)式的積.
(1)(x+1)(x-1) (2)(m+2)(m-2)
(3)(2x+1)(2x-1) (4)(x+5y)(x-5y)
結(jié)論:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.
即:(a+b)(a-b)=a2-b2
四、精講精練
例1:運(yùn)用平方差公式計(jì)算:
(1)(3x+2)(3x-2) (2)(b+2a)(2a-b) (3)(-x+2y)(-x-2y)
例2:計(jì)算:
(1)102×98 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
隨堂練習(xí)
二次根式教案13
教學(xué)設(shè)計(jì)
1、知識(shí)技能:
(1)會(huì)進(jìn)行簡單的二次根式的除法運(yùn)算。
(2)使學(xué)生能利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算。
2、數(shù)學(xué)思考:在學(xué)習(xí)了二次根式乘法的基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)對(duì)比,得出除法的運(yùn)算法則。
3、 解決問題:引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般總結(jié)歸納的方法以及類比的方法,解決數(shù)學(xué)問題。
4、情感態(tài)度:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是相互聯(lián)系的,相互作用的
同步練習(xí)含答案解析
【考點(diǎn)】最簡二次根式。
【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡二次根式的方法,就是逐個(gè)檢查定義中的兩個(gè)條件(①被開方數(shù)不含分母;②被開方數(shù)不含能開得盡方的'因數(shù)或因式)是否同時(shí)滿足,同時(shí)滿足的就是最簡二次根式,否則就不是。
【解答】解:A、被開方數(shù)里含有能開得盡方的因數(shù)8,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、符合最簡二次根式的條件;故本選項(xiàng)正確;
B、,被開方數(shù)里含有能開得盡方的因式x2;故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、被開方數(shù)里含有分母;故本選項(xiàng)錯(cuò)誤。
D、被開方數(shù)里含有能開得盡方的因式a2;故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選;B。
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了最簡二次根式的定義,最簡二次根式必須滿足兩個(gè)條件:
(1)被開方數(shù)不含分母;
(2)被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式。
課時(shí)練習(xí)含答案
解答:選項(xiàng)A是二次根式乘法的運(yùn)算,選項(xiàng)C不符合二次根式的運(yùn)算條件,選項(xiàng)D中被開方數(shù)不能為負(fù),故A、C、D都是錯(cuò)誤的,唯有B符合二次根式除法運(yùn)算法則,故選B。
分析:正確運(yùn)用二次根式除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算,并能辨析運(yùn)算的正誤,是本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn),學(xué)生可以通過比較分析或正確計(jì)算加以判斷。
二次根式教案14
教學(xué)設(shè)計(jì)思想
新教材打破了舊教材從定義出發(fā),由理論到理論,按部就班的舊格局,創(chuàng)造出從實(shí)踐到理論再回到實(shí)踐,由淺入深,符合認(rèn)知結(jié)構(gòu)的新模式。本節(jié)首先通過四個(gè)實(shí)際問題引出二次根式的概念,給出二次根式的意義。然后讓學(xué)生通過二次根式的意義和算術(shù)平方根的意義找出二次根式的三個(gè)性質(zhì)。本節(jié)通過學(xué)生所熟悉的實(shí)際問題建立二次根式的概念,使學(xué)生在經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問題符號(hào)化的過程中,進(jìn)一步體會(huì)二次根式的重要作用,發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。
教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)與技能
1.知道什么是二次根式,并會(huì)用二次根式的意義解題;
2.熟記二次根式的性質(zhì),并能靈活應(yīng)用;
過程與方法
通過二次根式的概念和性質(zhì)的'學(xué)習(xí),培養(yǎng)邏輯思維能力;
情感態(tài)度價(jià)值觀
1.經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問題符號(hào)化的過程,發(fā)展應(yīng)用的意識(shí);
2.通過二次根式性質(zhì)的介紹滲透對(duì)稱性、規(guī)律性的數(shù)學(xué)美。
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn):(1)二次根式的意義;(2)二次根式中字母的取值范圍;
難點(diǎn):確定二次根式中字母的取值范圍。
教學(xué)方法
啟發(fā)式、講練結(jié)合
教學(xué)媒體
多媒體
課時(shí)安排
1課時(shí)
二次根式教案15
第十六章 二次根式
代數(shù)式用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子叫代數(shù)式①式子中不能出現(xiàn)“=,≠,≥,≤,<,>”;②單個(gè)的數(shù)字或單個(gè)的字母也是代數(shù)式
5.5(解析:這類題保證被開方數(shù)是最小的完全平方數(shù)即可得出結(jié)論.20=22×5,所以正整數(shù)的'最小值為5.)
6.(1)(x+)(x-) (2)n(n+)2(n-)2(解析:關(guān)鍵是逆用()2=a(a≥0)將3變成()2.(1)x2-3=(x+)(x-).(2)n5-6n3+9n=n(n4-6n2+9)=n(n2-3)2=n(n+)2(n-)2.)
7.解:(1) . (2)寬:3 ;長:5 .
8.解:(1) =. (2)(3)2=32×()2=18. (3)=(-2)2×=. (4)-=-=-3π. (5) = =.
9.解:原式=-=-.∵x=6,∴x+1>0,x-8<0.∴原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5.
10.解析:在利用=|a|=化簡二次根式時(shí),當(dāng)根號(hào)內(nèi)的因式移到根號(hào)外面時(shí),一定要注意原來根號(hào)里面的符號(hào),這也是化簡時(shí)最容易出錯(cuò)的地方.
解:乙的解答是錯(cuò)誤的.因?yàn)楫?dāng)a=時(shí),=5,a-<0,所以 ≠a-,而應(yīng)是 =-a.
本節(jié)課通過“觀察——?dú)w納——運(yùn)用”的模式,讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的形成與掌握變得簡單起來,將一個(gè)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)落實(shí)到位,適當(dāng)增加了拓展性的練習(xí),層層遞進(jìn),使不同的學(xué)生得到了不同的發(fā)展和提高.
在探究二次根式的性質(zhì)時(shí),通過“提問——追問——討論”的形式展開,保證了活動(dòng)有一定的針對(duì)性,但是學(xué)生發(fā)揮主體作用不夠.
在探究完成二次根式的性質(zhì)1后,總結(jié)學(xué)習(xí)方法,再放手讓學(xué)生自主探究二次根式的性質(zhì)2.既可以提高學(xué)習(xí)效率,又可以培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力.
練習(xí)(教材第4頁)
1.解:(1)()2=3. (2)(3)2=32×()2=9×2=18.
2.解:(1)=0.3. (2) =. (3)-=-π. (4)=10-1=.
習(xí)題16.1(教材第5頁)
1.解:(1)欲使有意義,則必有a+2≥0,∴a≥-2,∴當(dāng)a≥-2時(shí),有意義. (2)欲使有意義,則必有3-a≥0,∴a≤3,∴當(dāng)a≤3時(shí),有意義. (3)欲使有意義,則必有5a≥0,∴a≥0,∴當(dāng)a≥0時(shí),有意義. (4)欲使有意義,則必有2a+1≥0,∴a≥-,∴當(dāng)a≥-時(shí),有意義.
2.解:(1)()2=5. (2)(-)2=()2=0.2. (3)=. (4)(5)2=52×()2=25×5=125. (5)==10. (6)=72×=49×=14. (7) =. (8)- =- =-.
3.解:(1)設(shè)圓的半徑為R,由圓的面積公式得S=πR2,所以R2=,所以R=± .因?yàn)閳A的半徑不能是負(fù)數(shù),所以R=-不符合題意,舍去,故R= ,即面積為S的圓的半徑為 . (2)設(shè)較短的邊長為2x,則它的鄰邊長為3x.由長方形的面積公式得2x3x=S,所以x=±,因?yàn)閤=-不符合題意,舍去,所以x=,所以2x=2=,3x=3=,即這個(gè)長方形的相鄰兩邊的長分別為和.
4.解:(1)32. (2)()2. (3)()2. (4)0.52. (5). (6)02.
5.解:由題意可知πr2=π22+π32,∴r2=13,∴r=±.∵r=-不符合題意,舍去,∴r=,即r的值是.
6.解:設(shè)AB=x,則AB邊上的高為4x,由題意,得x4x=12,則x2=6,∴x=±.∵x=-不符合題意,舍去,∴x=.故AB的長為.
7.解:(1)∵x2+1>0恒成立,∴無論x取任何實(shí)數(shù),都有意義. (2)∵(x-1)2≥0恒成立,∴無論x取任何實(shí)數(shù),都有意義. (3)∵即x>0,∴當(dāng)x>0時(shí), 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義. (4)∵即x>-1,∴當(dāng)x>-1時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.
8.解:設(shè)h=t2, 則由題意,得20=×22,解得=5,∴h=5t2,∴t= (負(fù)值已舍去).當(dāng)h=10時(shí),t= =,當(dāng)h=25時(shí),t= =.故當(dāng)h=10和h=25時(shí),小球落地所用的時(shí)間分別為 s和 s.
9.解:(1)由題意知18-n≥0且為整數(shù),則n≤18,n為自然數(shù)且為整數(shù),∴符合條件的n的所有可能的值為2,9,14,17,18. (2)∵24n≥0且是整數(shù),n為正整數(shù),∴符合條件的n的最小值是6.
10.解:V=πr2×10,r= (負(fù)值已舍去),當(dāng)V=5π時(shí), r= =,當(dāng)V=10π時(shí),r= =1,當(dāng)V=20π時(shí),r= =.
如圖所示,根據(jù)實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置,化簡:+.
〔解析〕 根據(jù)數(shù)軸可得出a+b與a-b的正負(fù)情況,從而可將二次根式化簡.
解:由數(shù)軸可得:a+b<0,a-b>0,
∴+=|a-b|+|a+b|=a-b-(a+b)=-2b.
[解題策略] 結(jié)合數(shù)軸得出字母的取值范圍,再化簡二次根式,此題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.
已知a,b,c為三角形的三條邊,則+= .
〔解析〕 根據(jù)三角形三邊的關(guān)系,先判斷a+b-c與b-a-c的符號(hào),再去根號(hào)、絕對(duì)值符號(hào)并化簡.因?yàn)閍,b,c為三角形的三條邊,所以a+b-c>0,b-a-c<0,所以原式=(a+b-c)+[-(b-a-c)]=a+b-c-b+a+c=2a.故填2a.
[解題策略] 此類化簡問題要特別注意符號(hào)問題.
化簡:.
〔解析〕 題中并沒有明確字母x的取值范圍,需要分x≥3和x<3兩種情況考慮.
解:當(dāng)x≥3時(shí),=|x-3|=x-3;
當(dāng)x<3時(shí),=|x-3|=-(x-3)=3-x.
[解題策略] 化簡時(shí),先將它化成|a|,再根據(jù)絕對(duì)值的意義分情況進(jìn)行討論.
5
O
M
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