高中數(shù)學必修知識點

時間：2024-05-14 22:59:57 林強高中數(shù)學我要投稿

高中數(shù)學必修知識點（精選22篇）

　　在平時的學習中，說起知識點，應該沒有人不熟悉吧？知識點就是一些�？嫉膬�(nèi)容，或者考試經(jīng)常出題的地方。還在苦惱沒有知識點總結(jié)嗎？以下是小編為大家整理的高中數(shù)學必修知識點，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

高中數(shù)學必修知識點（精選22篇）

　　高中數(shù)學必修知識點 1

　　1、集合的含義與表示

　　集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。

　　把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。

　　2、集合的中元素的三個特性：

　�。�1）元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。

　　（2）元素的互異性：一個給定集合中的元素是唯一的，不可重復的。

　　（3）元素的無序性：集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合

　　3、集合的表示：{…}

　�。�1）用大寫字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5}

　�。�2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來{a，b，c……}

　　b、描述法：

　�、賲^(qū)間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合。

　　{xR|x—32}，{x|x—32}

　�、谡Z言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　③Venn圖：畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。

　　4、集合的分類：

　�。�1）有限集：含有有限個元素的集合

　�。�2）無限集：含有無限個元素的集合

　　（3）空集：不含任何元素的集合

　　5、元素與集合的關(guān)系：

　�。�1）元素在集合里，則元素屬于集合，即：aA

　�。�2）元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a￠A

　　注意：常用數(shù)集及其記法：

　　非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

　　正整數(shù)集N_或N+

　　整數(shù)集Z

　　有理數(shù)集Q

　　實數(shù)集R

　　6、集合間的基本關(guān)系

　�。�1）“包含”關(guān)系（1）—子集

　　定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的`子集。

　　高三數(shù)學必修1知識點二

　　1、函數(shù)的奇偶性

　　（1）若f（x）是偶函數(shù)，那么f（x）=f（—x）；

　�。�2）若f（x）是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則f（0）=0（可用于求參數(shù)）；

　�。�3）判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式：f（x）±f（—x）=0或（f（x）≠0）；

　�。�4）若所給函數(shù)的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性；

　�。�5）奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性；

　　2、復合函數(shù)的有關(guān)問題

　�。�1）復合函數(shù)定義域求法：若已知的定義域為[a，b]，其復合函數(shù)f[g（x）]的定義域由不等式a≤g（x）≤b解出即可；若已知f[g（x）]的定義域為[a，b]，求f（x）的定義域，相當于x∈[a，b]時，求g（x）的值域（即f（x）的定義域）；研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。

　�。�2）復合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定；

　　3、函數(shù)圖像（或方程曲線的對稱性）

　�。�1）證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；

　�。�2）證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在C2上，反之亦然；

　�。�3）曲線C1：f（x，y）=0，關(guān)于y=x+a（y=—x+a）的對稱曲線C2的方程為f（y—a，x+a）=0（或f（—y+a，—x+a）=0）；

　�。�4）曲線C1：f（x，y）=0關(guān)于點（a，b）的對稱曲線C2方程為：f（2a—x，2b—y）=0；

　　（5）若函數(shù)y=f（x）對x∈R時，f（a+x）=f（a—x）恒成立，則y=f（x）圖像關(guān)于直線x=a對稱；

　�。�6）函數(shù)y=f（x—a）與y=f（b—x）的圖像關(guān)于直線x=對稱；

　　4、函數(shù)的周期性

　�。�1）y=f（x）對x∈R時，f（x +a）=f（x—a）或f（x—2a）=f（x）（a0）恒成立，則y=f（x）是周期為2a的周期函數(shù)；

　�。�2）若y=f（x）是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對稱，則f（x）是周期為2︱a︱的周期函數(shù)；

　�。�3）若y=f（x）奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對稱，則f（x）是周期為4︱a︱的周期函數(shù)；

　　（4）若y=f（x）關(guān)于點（a，0），（b，0）對稱，則f（x）是周期為2的周期函數(shù)；

　�。�5）y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a，x=b（a≠b）對稱，則函數(shù)y=f（x）是周期為2的周期函數(shù)；

　�。�6）y=f（x）對x∈R時，f（x+a）=—f（x）（或f（x+a）=，則y=f（x）是周期為2的周期函數(shù)；

　　5、方程

　　（1）方程k=f（x）有解k∈D（D為f（x）的值域）；

　�。�2）a≥f（x）恒成立a≥[f（x）]max，；

　　a≤f（x）恒成立a≤[f（x）]min；

　�。�3）（a0，a≠1，b0，n∈R+）；

　　log a N=（a0，a≠1，b0，b≠1）；

　�。�4）log a b的符號由口訣“同正異負”記憶；

　　a log a N= N（a0，a≠1，N0）；

　　6、映射

　　判斷對應是否為映射時，抓住兩點：

　�。�1）A中元素必須都有象且唯一；

　�。�2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；

　　7、函數(shù)單調(diào)性

　�。�1）能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，求反函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性；

　�。�2）依據(jù)單調(diào)性，利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問題

　　8、反函數(shù)

　　對于反函數(shù)，應掌握以下一些結(jié)論：

　�。�1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；

　�。�2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)；

　　（3）定義域為非單元素集的偶函數(shù)不存在反函數(shù)；

　�。�4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)；（5）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性；

　�。�5）y=f（x）與y=f—1（x）互為反函數(shù)，設f（x）的定義域為A，值域為B，則有f[f——1（x）]=x（x∈B），f——1[f（x）]=x（x∈A）、

　　9、數(shù)形結(jié)合

　　處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系、

　　10、恒成立問題

　　恒成立問題的處理方法：

　�。�1）分離參數(shù)法；

　�。�2）轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式（組）求解；

　　高中數(shù)學必修知識點 2

　　一、平面的基本性質(zhì)與推論

　　1、平面的基本性質(zhì)：

　　公理1如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)；

　　公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面；

　　公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

　　2、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系：

　　直線與直線—平行、相交、異面；

　　直線與平面—平行、相交、直線屬于該平面（線在面內(nèi)，最易忽視）；

　　平面與平面—平行、相交。

　　3、異面直線：

　　平面外一點A與平面一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線（判定）；

　　所成的角范圍（0，90）度（平移法，作平行線相交得到夾角或其補角）；

　　兩條直線不是異面直線，則兩條直線平行或相交（反證）；

　　異面直線不同在任何一個平面內(nèi)。

　　求異面直線所成的角：平移法，把異面問題轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角

　　二、空間中的平行關(guān)系

　　1、直線與平面平行（核心）

　　定義：直線和平面沒有公共點

　　判定：不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的`一條直線平行，則該直線平行于此平面（由線線平行得出）

　　性質(zhì)：一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，則這條直線就和兩平面的交線平行

　　2、平面與平面平行

　　定義：兩個平面沒有公共點

　　判定：一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行

　　性質(zhì)：兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面；如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

　　3、常利用三角形中位線、平行四邊形對邊、已知直線作一平面找其交線

　　三、空間中的垂直關(guān)系

　　1、直線與平面垂直

　　定義：直線與平面內(nèi)任意一條直線都垂直

　　判定：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交的直線都垂直，則該直線與此平面垂直

　　性質(zhì)：垂直于同一直線的兩平面平行

　　推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面

　　直線和平面所成的角：【0，90】度，平面內(nèi)的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影說成的銳角，特別規(guī)定垂直90度，在平面內(nèi)或者平行0度

　　2、平面與平面垂直

　　定義：兩個平面所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線所成的角）

　　判定：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直

　　性質(zhì)：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直

　　高中數(shù)學必修知識點 3

　　總體和樣本

　�、僭诮y(tǒng)計學中，把研究對象的全體叫做總體。

　�、诎衙總€研究對象叫做個體。

　�、郯芽傮w中個體的總數(shù)叫做總體容量。

　�、転榱搜芯靠傮w的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機抽取一部分：x1，x2，....，x-x研究，我們稱它為樣本.其中個體的個數(shù)稱為樣本容量。

　　簡單隨機抽樣

　　也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨。

　　機地抽取調(diào)查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同(概率相等)，樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎，高三。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。

　　簡單隨機抽樣常用的方法

　　①抽簽法

　�、陔S機數(shù)表法

　　③計算機模擬法

　�、苁褂媒y(tǒng)計軟件直接抽取。

　　在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：

　�、倏傮w變異情況;

　�、谠试S誤差范圍;

　�、鄹怕时ＷC程度。

　　抽簽法

　�、俳o調(diào)查對象群體中的每一個對象編號;

　　②準備抽簽的工具，實施抽簽;

　�、蹖颖局械拿恳粋€個體進行測量或調(diào)查。

　　拓展閱讀：高二數(shù)學學習方法

　　一、提高聽課的效率是關(guān)鍵

　　課前預習能提高聽課的針對性。預習中發(fā)現(xiàn)的難點，就是聽課的重點;對預習中遇到的沒有掌握好的有關(guān)的'舊知識，可進行補缺，以減少聽課過程中的困難;有助于提高思維能力，預習后把自己理解了的東西與老師的講解進行比較、分析即可提高自己思維水平;預習還可以培養(yǎng)自己的自學能力。其次就是聽課要全神貫注。

　　二、做好復習和總結(jié)工作

　　做好及時的復習。課完課的當天，必須做好當天的復習。復習的有效方法不是一遍遍地看書或筆記，而是采取回憶式的復習，然后打開筆記與書本，對照一下還有哪些沒記清的，把它補起來，就使得當天上課內(nèi)容鞏固下來，同時也就檢查了當天課堂聽課的效果如何，也為改進聽課方法及提高聽課效果提出必要的改進措施。

　　三、指導做一定量的練習題

　　做題的目的在于檢查你學的知識，方法是否掌握得很好。如果你掌握得不準，甚至有偏差，那么多做題的結(jié)果，反而鞏固了你的缺欠，因此，要在準確地把握住基本知識和方法的基礎上做一定量的練習是必要的。而對于中檔題，尢其要講究做題的效益，這就需要在做題后進行一定的“反思”，思考一下本題所用的基礎知識，把它們聯(lián)系起來，你就會得到更多的經(jīng)驗和教訓，更重要的是養(yǎng)成善于思考的好習慣，這將大大有利于你今后的學習。

　　高中數(shù)學必修知識點 4

　　1、棱柱

　　定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

　　分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

　　表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱ABCDEABCDE幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

　　2、棱錐

　　定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體

　　分類：以底面多邊形的.邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

　　表示：用各頂點字母，如五棱錐PABCDE

　　幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相

　　似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。

　　3、棱臺

　　定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

　　分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

　　表示：用各頂點字母，如四棱臺ABCD—ABCD

　　幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點

　　4、圓柱

　　定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

　　幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個矩形。

　　5、圓錐

　　定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

　　幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個扇形。

　　6、圓臺

　　定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

　　幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個弓形

　　高中數(shù)學必修知識點 5

　　一、直線與方程高考考試內(nèi)容及考試要求：

　　考試內(nèi)容：

　　1．直線的傾斜角和斜率；直線方程的點斜式和兩點式；直線方程的一般式；

　　2．兩條直線平行與垂直的條件；兩條直線的交角；點到直線的距離；

　　考試要求：

　　1．理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程；

　　2．掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系；

　　二、直線與方程

　　課標要求：

　　1．在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素；

　　2．理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的'直線斜率的計算公式；

　　3．根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系；

　　4．會用代數(shù)的方法解決直線的有關(guān)問題，包括求兩直線的交點，判斷兩條直線的位置關(guān)系，求兩點間的距離、點到直線的距離以及兩條平行線之間的距離等。

　　要點精講：

　　1．直線的傾斜角：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角。特別地，當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定α= 0°.

　　傾斜角α的取值范圍：0°≤α＜180°. 當直線l與x軸垂直時， α= 90°.

　　2．直線的斜率：一條直線的傾斜角α（α≠90°）的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，也就是k = tanα

　�。�1）當直線l與x軸平行或重合時，α=0°，k = tan0°=0；

　�。�2）當直線l與x軸垂直時，α= 90°，k 不存在。

　　由此可知，一條直線l的傾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在。

　　3．過兩點p1(x1，y1)，p2(x2，y2)（x1≠x2）的直線的斜率公式：

　�。ㄈ魓1＝x2，則直線p1p2的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°）。

　　4．兩條直線的平行與垂直的判定

　�。�1）若l1，l2均存在斜率且不重合：

　�、伲虎�

　　注: 上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結(jié)論并不成立。

　　（2）

　　若A1、A2、B1、B2都不為零。

　　注意：若A2或B2中含有字母，應注意討論字母=0與0的情況。

　　兩條直線的交點：兩條直線的交點的個數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個數(shù)。

　　5．直線方程的五種形式

　　確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件，確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。

　　直線的點斜式與斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 軸）的直線；兩點式不能表示平行或重合兩坐標軸的直線；截距式不能表示平行或重合兩坐標軸的直線及過原點的直線。

　　6．直線的交點坐標與距離公式

　�。�1）兩直線的交點坐標

　　一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組

　　若方程組有唯一解，則兩條直線相交，解即為交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行。

　�。�2）兩點間距離

　　兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式

　　特別地：軸，則、軸，則

　　（3）點到直線的距離公式

　　點到直線的距離為：

　　（4）兩平行線間的距離公式：

　　若，則：

　　注意點：x，y對應項系數(shù)應相等。

　　高中數(shù)學必修知識點 6

　　一、集合有關(guān)概念

　　1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。

　　2、集合的中元素的三個特性：

　　1.元素的確定性;

　　2.元素的互異性;

　　3.元素的無序性

　　說明：

　　(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

　　(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。

　　(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

　　(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

　　3、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊員}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

　　1.用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5}

　　2.集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　注意�。撼Ｓ脭�(shù)集及其記法：

　　非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N

　　正整數(shù)集N_或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

　　關(guān)于“屬于”的概念

　　集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作a?A

　　列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。

　　描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的`方法。

　�、僬Z言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　�、跀�(shù)學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?Rx-3>2}或{x x-3>2}

　　4、集合的分類：

　　1.有限集含有有限個元素的集合

　　2.無限集含有無限個元素的集合

　　3.空集不含任何元素的集合例：{x x2=-5｝

　　二、集合間的基本關(guān)系

　　1.“包含”關(guān)系—子集

　　注意：有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。

　　反之:集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，記作AB或BA

　　2.“相等”關(guān)系(5≥5，且5≤5，則5=5)

　　實例：設A={x x2-1=0}B={-1，1}“元素相同”

　　結(jié)論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時，集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B

　　①任何一個集合是它本身的子集。AíA

　　②真子集:如果AíB，且A1B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

　�、廴绻鸄íB，BíC，那么AíC

　�、苋绻鸄íB同時BíA那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

　　數(shù)學知識點順口溜

　　排列與組合

　　分步則乘分類加，欲鄰需捆欲隔插;

　　有序則排無序組，正難則反排除它。

　　元素重復連乘法，特元特位你先拿;

　　平均分組階乘除，多元少位我當家。

　　二項式定理

　　二項乘方知多少，萬里源頭通項找;

　　展開三定項指系，組合系數(shù)楊輝角。

　　整除證明底變妙，二項求和特值巧;

　　兩端對稱誰最大?主峰一覽眾山小。

　　概率與統(tǒng)計

　　概率統(tǒng)計同根生，隨機發(fā)生等可能;

　　互斥事件一枝秀，相互獨立同時爭。

　　樣本總體抽樣審，獨立重復二項分;

　　隨機變量分布列，期望方差論偽真。

　　數(shù)學思維方法

　　比較思想方法

　　比較思想是數(shù)學中常見的思想方法之一，也是促進學生思維發(fā)展的手段。在教學分數(shù)應用題中，教師善于引導學生比較題中已知和未知數(shù)量變化前后的情況，可以幫助學生較快地找到解題途徑。

　　符號化思想方法

　　用符號化的語言(包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號)來描述數(shù)學內(nèi)容，這就是符號思想。如數(shù)學中各種數(shù)量關(guān)系，量的變化及量與量之間進行推導和演算，都是用小小的字母表示數(shù)，以符號的濃縮形式表達大量的信息。如定律、公式、等。

　　極限思想方法

　　事物是從量變到質(zhì)變的，極限方法的實質(zhì)正是通過量變的無限過程達到質(zhì)變。在講“圓的面積和周長”時，“化圓為方”“化曲為直”的極限分割思路，在觀察有限分割的基礎上想象它們的極限狀態(tài)，這樣不僅使學生掌握公式還能從曲與直的矛盾轉(zhuǎn)化中萌發(fā)了無限逼近的極限思想。

　　高中數(shù)學必修知識點 7

　　本節(jié)知識包括函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的.周期性、函數(shù)的最值、函數(shù)的對稱性和函數(shù)的圖象等知識點。函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的最值、函數(shù)的對稱性是學習函數(shù)的圖象的基礎，函數(shù)的圖象是它們的綜合。所以理解了前面的幾個知識點，函數(shù)的圖象就迎刃而解了。

　　一、函數(shù)的單調(diào)性

　　1、函數(shù)單調(diào)性的定義

　　2、函數(shù)單調(diào)性的`判斷和證明：(1)定義法(2)復合函數(shù)分析法(3)導數(shù)證明法(4)圖象法

　　二、函數(shù)的奇偶性和周期性

　　1、函數(shù)的奇偶性和周期性的定義

　　2、函數(shù)的奇偶性的判定和證明方法

　　3、函數(shù)的周期性的判定方法

　　三、函數(shù)的圖象

　　1、函數(shù)圖象的作法(1)描點法(2)圖象變換法

　　2、圖象變換包括圖象：平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換。

　　常見考法

　　本節(jié)是段考和高考必不可少的考查內(nèi)容，是段考和高考考查的重點和難點。選擇題、填空題和解答題都有，并且題目難度較大。在解答題中，它可以和高中數(shù)學的每一章聯(lián)合考查，多屬于拔高題。多考查函數(shù)的單調(diào)性、最值和圖象等。

　　誤區(qū)提醒

　　1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求函數(shù)的定義域，即遵循“函數(shù)問題定義域優(yōu)先的原則”。

　　2、單調(diào)區(qū)間必須用區(qū)間來表示，不能用集合或不等式，單調(diào)區(qū)間一般寫成開區(qū)間，不必考慮端點問題。

　　3、在多個單調(diào)區(qū)間之間不能用“或”和“”連接，只能用逗號隔開。

　　4、判斷函數(shù)的奇偶性，首先必須考慮函數(shù)的定義域，如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)。

　　5、作函數(shù)的圖象，一般是首先化簡解析式，然后確定用描點法或圖象變換法作函數(shù)的圖象。

　　高中數(shù)學必修知識點 8

　　平均值等于每個小長方形面積（即概率）乘每組橫坐標的中點，然后加和。

　　平均數(shù)，首先得直方圖應該歸一化，也就是說所有矩形的面積之和為1，然后每個矩形的面積代表其底邊中點橫坐標的數(shù)的頻率，那么面積乘以橫坐標就相當于頻率乘以橫坐標，得到的當然是平均數(shù)。

　　頻率直方圖中是沒有樣本數(shù)據(jù)的在某一個分組里，分布在這個分組的樣本數(shù)據(jù)沒法找得出來，然后也分布不均勻，所以就用這個組的中點的橫坐標來表示這個分組的樣本數(shù)據(jù)的平均值。

　　而每一個小長方形的.面積是表示相應的頻率，(相當于相應數(shù)據(jù)的百分比)所以平均數(shù)等于每個小長方形的面積乘以相應的分組的底邊中點橫坐標的之和。

　　頻率分布直方圖的運用

　　頻率分布直方圖能清楚顯示各組頻數(shù)分布情況又易于顯示各組之間頻數(shù)的差別。它主要是為了將我們獲取的數(shù)據(jù)直觀、形象地表示出來，讓我們能夠更好了解數(shù)據(jù)的分布情況，因此其中組距、組數(shù)起關(guān)鍵作用。

　　分組過少，數(shù)據(jù)就非常集中；分組過多，數(shù)據(jù)就非常分散，這就掩蓋了分布的特征。當數(shù)據(jù)在100以內(nèi)時，一般分5~12組為宜。

　　從頻率分布直方圖可以估計出的幾個數(shù)據(jù)：

　　眾數(shù)：頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標。

　　算術(shù)平均數(shù)：頻率分布直方圖每組數(shù)值的中間值乘以頻率后相加。

　　加權(quán)平均數(shù)：加權(quán)平均數(shù)就是所有的頻率乘以數(shù)值后的和相加。

　　中位數(shù)：把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于Y軸的直線橫坐標。

　　高中數(shù)學必修知識點 9

　　一、高中數(shù)列基本公式：

　　1、一般數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系：an=

　　2、等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當d≠0時，an是關(guān)于n的一次式；當d=0時，an是一個常數(shù)。

　　3、等差數(shù)列的前n項和公式：Sn=

　　Sn=

　　當d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0；當d=0時(a1≠0)，Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。

　　4、等比數(shù)列的通項公式： an= a1qn-1an= akqn-k

　　(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)

　　5、等比數(shù)列的前n項和公式：當q=1時，Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式)；

　　當q≠1時，Sn=

　　Sn=

　　二、高中數(shù)學中有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論

　　1、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等差數(shù)列。

　　2、等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則

　　3、等比數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則

　　4、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的.數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等比數(shù)列。

　　5、兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。

　　6、兩個等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

　　7、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

　　8、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

　　9、三個數(shù)成等差數(shù)列的設法：a-d，a，a+d；四個數(shù)成等差的設法：a-3d，a-d，a+d，a+3d

　　10、三個數(shù)成等比數(shù)列的設法：a/q，a，aq；

　　四個數(shù)成等比的錯誤設法：a/q3，a/q，aq，aq3 (為什么?)

　　高中數(shù)學必修知識點 10

　　總體和樣本

　　①在統(tǒng)計學中，把研究對象的全體叫做總體。

　�、诎衙總€研究對象叫做個體。

　�、郯芽傮w中個體的總數(shù)叫做總體容量。

　　④為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機抽取一部分：x1，x2，....，x-x研究，我們稱它為樣本.其中個體的個數(shù)稱為樣本容量。

　　簡單隨機抽樣

　　也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨。

　　機地抽取調(diào)查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同(概率相等)，樣本的'每個單位完全獨立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎，高三。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。

　　簡單隨機抽樣常用的方法

　�、俪楹灧�

　　②隨機數(shù)表法

　�、塾嬎銠C模擬法

　�、苁褂媒y(tǒng)計軟件直接抽取。

　　在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：

　�、倏傮w變異情況；

　�、谠试S誤差范圍；

　�、鄹怕时ＷC程度。

　　抽簽法

　　①給調(diào)查對象群體中的每一個對象編號；

　�、跍蕚涑楹灥墓ぞ撸瑢嵤┏楹�；

　　③對樣本中的每一個個體進行測量或調(diào)查。

　　高中數(shù)學必修知識點 11

　　集合的分類：

　�。�1）按元素屬性分類，如點集，數(shù)集。

　�。�2）按元素的個數(shù)多少，分為有/無限集

　　關(guān)于集合的概念：

　�。�1）確定性：作為一個集合的元素，必須是確定的，這就是說，不能確定的對象就不能構(gòu)成集合，也就是說，給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了。

　　（2）互異性：對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的（或說是互異的），這就是說，集合中的任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入同一個集合時只能算作集合的一個元素。

　　（3）無序性：判斷一些對象時候構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于看這些對象是否有明確的`標準。

　　集合可以根據(jù)它含有的元素的個數(shù)分為兩類：

　　含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。

　　非負整數(shù)全體構(gòu)成的集合，叫做自然數(shù)集，記作N。

　　在自然數(shù)集內(nèi)排除0的集合叫做正整數(shù)集，記作N+或N_。

　　整數(shù)全體構(gòu)成的集合，叫做整數(shù)集，記作Z。

　　有理數(shù)全體構(gòu)成的集合，叫做有理數(shù)集，記作Q。（有理數(shù)是整數(shù)和分數(shù)的統(tǒng)稱，一切有理數(shù)都可以化成分數(shù)的形式。）

　　實數(shù)全體構(gòu)成的集合，叫做實數(shù)集，記作R。（包括有理數(shù)和無理數(shù)。其中無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)就包括整數(shù)和分數(shù)。數(shù)學上，實數(shù)直觀地定義為和數(shù)軸上的點一一對應的數(shù)。）

　　1、列舉法：如果一個集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列舉出來，寫在花括號“{｝”內(nèi)表示這個集合，例如，由兩個元素0，1構(gòu)成的集合可表示為{0，1｝。

　　有些集合的元素較多，元素的排列又呈現(xiàn)一定的規(guī)律，在不致于發(fā)生誤解的情況下，也可以列出幾個元素作為代表，其他元素用省略號表示。

　　例如：不大于100的自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合，可表示為{0，1，2，3，…，100｝。

　　無限集有時也用上述的列舉法表示，例如，自然數(shù)集N可表示為{1，2，3，…，n，…｝。

　　2、描述法：一種更有效地描述集合的方法，是用集合中元素的特征性質(zhì)來描述。

　　例如：正偶數(shù)構(gòu)成的集合，它的每一個元素都具有性質(zhì)：“能被2整除，且大于0”

　　而這個集合外的其他元素都不具有這種性質(zhì)，因此，我們可以用上述性質(zhì)把正偶數(shù)集合表示為{x∈R│x能被2整除，且大于0｝或{x∈R│x=2n，n∈N+｝，大括號內(nèi)豎線左邊的X表示這個集合的任意一個元素，元素X從實數(shù)集合中取值，在豎線右邊寫出只有集合內(nèi)的元素x才具有的性質(zhì)。

　　一般地，如果在集合I中，屬于集合A的任意一個元素x都具有性質(zhì)p（x），而不屬于集合A的元素都不具有的性質(zhì)p（x），則性質(zhì)p（x）叫做集合A的一個特征性質(zhì)。于是，集合A可以用它的性質(zhì)p（x）描述為{x∈I│p（x）｝它表示集合A是由集合I中具有性質(zhì)p（x）的所有元素構(gòu)成的，這種表示集合的方法，叫做特征性質(zhì)描述法，簡稱描述法。

　　例如：集合A={x∈R│x2—1=0｝的特征是X2—1=0

　　高中數(shù)學必修知識點 12

　　什么是不等式？

　　一般地，用純粹的大于號“>”、小于號“<”連接的不等式稱為嚴格不等式，用不小于號（大于或等于號）“≥”、不大于號（小于或等于號）“≤”連接的不等式稱為非嚴格不等式，或稱廣義不等式�？偟膩碚f，用不等號（<，>，≥，≤，≠）連接的式子叫做不等式。

　　通常不等式中的數(shù)是實數(shù)，字母也代表實數(shù)，不等式的一般形式為F（x，y，……，z）≤G（x，y，……，z）（其中不等號也可以為<，≤，≥，>中某一個），兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達一個命題，也可以表示一個問題。

　　數(shù)學知識點1、不等式性質(zhì)比較大小方法：

　　（1）作差比較法

　�。�2）作商比較法

　　不等式的基本性質(zhì)

　　①對稱性：a > b，b > a

　�、趥鬟f性：a > b，b > ca > c

　　③可加性：a > b a + c > b + c

　�、芸煞e性：a > b，c > 0，ac > bc

　�、菁臃ǚ▌t：a > b，c > d，a + c > b + d

　�、蕹朔ǚ▌t：a > b > 0，c > d > 0，ac > bd

　�、叱朔椒▌t：a > b > 0，an > bn（n∈N）

　�、嚅_方法則：a > b > 0

　　數(shù)學知識點2、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理：

　　（1）如果a、b∈R，那么a2 + b2 ≥2ab；（當且僅當a=b時等號）

　�。�2）如果a、b∈R+，那么（當且僅當a=b時等號）推廣：

　　如果為實數(shù)，則重要結(jié)論

　�。�1）如果積xy是定值P，那么當x=y時，和x+y有最小值2；

　�。�2）如果和x+y是定值S，那么當x=y時，和xy有最大值S2/4。

　　數(shù)學知識點3、證明不等式的常用方法：

　　比較法：比較法是最基本、最重要的方法。

　　當不等式的兩邊的差能分解因式或能配成平方和的`形式，則選擇作差比較法；當不等式的兩邊都是正數(shù)且它們的商能與1比較大小，則選擇作商比較法；碰到絕對值或根式，我們還可以考慮作平方差。

　　綜合法：從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導出欲證的不等式。綜合法的放縮經(jīng)常用到均值不等式。

　　分析法：不等式兩邊的聯(lián)系不夠清楚，通過尋找不等式成立的充分條件，逐步將欲證的不等式轉(zhuǎn)化，直到尋找到易證或已知成立的結(jié)論。

　　高中數(shù)學必修知識點 13

　　有界性

　　設函數(shù)f（x）在區(qū)間X上有定義，如果存在M>0，對于一切屬于區(qū)間X上的x，恒有|f（x）|≤M，則稱f（x）在區(qū)間X上有界，否則稱f（x）在區(qū)間上無界。

　　單調(diào)性

　　設函數(shù)f（x）的定義域為D，區(qū)間I包含于D.如果對于區(qū)間上任意兩點x1及x2，當x1f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的。單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。

　　奇偶性

　　設為一個實變量實值函數(shù)，若有f（—x）=—f（x），則f（x）為奇函數(shù)。

　　幾何上，一個奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，亦即其圖像在繞原點做180度旋轉(zhuǎn)后不會改變。

　　奇函數(shù)的例子有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。

　　設f（x）為一實變量實值函數(shù)，若有f（x）=f（—x），則f（x）為偶函數(shù)。

　　幾何上，一個偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱，亦即其圖在對y軸映射后不會改變。

　　偶函數(shù)的例子有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。

　　偶函數(shù)不可能是個雙射映射。

　　連續(xù)性

　　在數(shù)學中，連續(xù)是函數(shù)的一種屬性。直觀上來說，連續(xù)的函數(shù)就是當輸入值的變化足夠小的`時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函數(shù)。如果輸入值的某種微小的變化會產(chǎn)生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義，則這個函數(shù)被稱為是不連續(xù)的函數(shù)（或者說具有不連續(xù)性）。

　　高中數(shù)學必修知識點 14

　　1、命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？

　�。ɑ槟娣耜P(guān)系的命題是等價命題。）

　　原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

　　2、對映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的'任意性和B中與之對應元素的唯一性，哪幾種對應能構(gòu)成映射？

　�。ㄒ粚σ�，多對一，允許B中有元素無原象。）

　　3、函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？

　�。ǘx域、對應法則、值域）

　　4、反函數(shù)存在的條件是什么？

　　（一一對應函數(shù)）

　　求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

　�。á俜唇鈞；②互換x、y；③注明定義域）

　　5、反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

　�、倩榉春瘮�(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；

　�、诒４媪嗽瓉砗瘮�(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

　　6、函數(shù)f（x）具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？

　　（f（x）定義域關(guān)于原點對稱）

　　高中數(shù)學必修知識點 15

　　一、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

　　結(jié)構(gòu)特征

　　圖例

　　棱柱

　�。�1）兩底面相互平行，其余各面都是平行四邊形；

　�。�2）側(cè)棱平行且相等。

　　圓柱

　�。�1）兩底面相互平行；

　�。�2）側(cè)面的母線平行于圓柱的軸；

　　（3）是以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體。

　　棱錐

　�。�1）底面是多邊形，各側(cè)面均是三角形；

　�。�2）各側(cè)面有一個公共頂點。

　　圓錐

　�。�1）底面是圓；

　　（2）是以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體。

　　棱臺

　　（1）兩底面相互平行；

　�。�2）是用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的`部分。

　　圓臺

　　（1）兩底面相互平行；

　�。�2）是用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分。

　　球

　�。�1）球心到球面上各點的距離相等；

　�。�2）是以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體。

　　二、簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

　　三、空間幾何體的三視圖

　　定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）

　　注：

　　正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；

　　俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；

　　側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

　　四、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

　　斜二測畫法特點：

　�、僭瓉砼cx軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；

　�、谠瓉砼cy軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

　　五、柱體、錐體、臺體的表面積與體積

　�。�1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。

　�。�2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，l為母線）

　�。�3）柱體、錐體、臺體的體積公式

　�。�4）球體的表面積和體積公式：

　　高中數(shù)學必修知識點 16

　�。�1）不等關(guān)系

　　感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實際背景。

　�。�2）一元二次不等式

　　①經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程。

　　②通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系。

　�、蹠庖辉尾坏仁�，對給定的一元二次不等式，嘗試設計求解的程序框圖。

　�。�3）二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題

　�、購膶嶋H情境中抽象出二元一次不等式組。

　　②了解二元一次不等式的`幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組（參見例2）。

　�、蹚膶嶋H情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決（參見例3）。

　　（4）基本不等式

　�、偬剿鞑⒘私饣静坏仁降淖C明過程。

　　②會用基本不等式解決簡單的（�。┲祮栴}。

　　高中數(shù)學必修知識點 17

　　空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面

　　按是否共面可分為兩類：

　　(1)共面：平行、相交

　　(2)異面：

　　異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。

　　異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。

　　兩異面直線所成的角：范圍為(0°，90°)esp.空間向量法

　　兩異面直線間距離：公垂線段(有且只有一條)esp.空間向量法

　　若從有無公共點的角度看可分為兩類：

　　(1)有且僅有一個公共點——相交直線；

　　(2)沒有公共點——平行或異面

　　直線和平面的位置關(guān)系：

　　直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行

　�、僦本€在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點

　　②直線和平面相交——有且只有一個公共點

　　直線與平面所成的.角：平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角。

　　空間向量法(找平面的法向量)

　　規(guī)定：

　　a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0°角

　　由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0°，90°]

　　最小角定理：斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角

　　三垂線定理及逆定理：如果平面內(nèi)的一條直線，與這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直

　　直線和平面垂直

　　直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面。

　　直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

　　直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

　�、壑本€和平面平行——沒有公共點

　　直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么我們就說這條直線和這個平面平行。

　　直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

　　直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

　　高中數(shù)學必修知識點 18

　　一次函數(shù)的定義

　　一次函數(shù)，也作線性函數(shù)，在x，y坐標軸中可以用一條直線表示，當一次函數(shù)中的一個變量的值確定時，可以用一元一次方程確定另一個變量的'值。

　　函數(shù)的表示方法

　　列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對應規(guī)律。

　　解析式法：簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。

　　圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。

　　一次函數(shù)的性質(zhì)

　　一般地，形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0），那么y叫做x的一次函數(shù)，當b=0時，y=kx+b即y=kx，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)

　　注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx+b（k不為0）

　　a）k不為0

　　b）x的指數(shù)是1

　　c）b取任意實數(shù)

　　一次函數(shù)y=kx+b的圖像是經(jīng)過（0，b）和（—b/k，0）兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b，它可以看做直線y=kx平移|b|個單位長度得到。（當b>0時，向上平移；b<0時，向下平移）

　　高中數(shù)學必修知識點 19

　　1.定義法：

　　判斷B是A的條件，實際上就是判斷B=>A或者A=>B是否成立，只要把題目中所給的條件按邏輯關(guān)系畫出箭頭示意圖，再利用定義判斷即可.

　　2.轉(zhuǎn)換法：

　　當所給命題的.充要條件不易判斷時，可對命題進行等價裝換，例如改用其逆否命題進行判斷.

　　3.集合法

　　在命題的條件和結(jié)論間的關(guān)系判斷有困難時，可從集合的角度考慮，記條件p、q對應的集合分別為A、B，則：

　　若A∩B，則p是q的充分條件.

　　若A∪B，則p是q的必要條件.

　　若A=B，則p是q的充要條件.

　　若A∈B，且B∈A，則p是q的既不充分也不必要條件.

　　高中數(shù)學必修知識點 20

　　軌跡，包含兩個方面的問題：凡在軌跡上的點都符合給定的條件，這叫做軌跡的純粹性（也叫做必要性）；凡不在軌跡上的點都不符合給定的條件，也就是符合給定條件的點必在軌跡上，這叫做軌跡的完備性（也叫做充分性）。

　　一、求動點的軌跡方程的基本步驟。

　　1、建立適當?shù)淖鴺讼�，設出動點M的`坐標；

　　2、寫出點M的集合；

　　3、列出方程=0；

　　4、化簡方程為最簡形式；

　　5、檢驗。

　　二、求動點的軌跡方程的常用方法：求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法和交軌法等。

　　1、直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。

　　2、定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

　　3、相關(guān)點法：用動點Q的坐標x，y表示相關(guān)點P的坐標x0、y0，然后代入點P的坐標（x0，y0）所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點法。

　　4、參數(shù)法：當動點坐標x、y之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找x、y與某一變數(shù)t的關(guān)系，得再消去參變數(shù)t，得到方程，即為動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法。

　　5、交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

　　求動點軌跡方程的一般步驟：

　�、俳ㄏ怠⑦m當?shù)淖鴺讼担?/p>

　�、谠O點——設軌跡上的任一點P（x，y）；

　�、哿惺健谐鰟狱cp所滿足的關(guān)系式；

　　④代換——依條件的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于X，Y的方程式，并化簡；

　　⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程。

　　高中數(shù)學必修知識點 21

　　一、直線與方程

　�。�1）直線的傾斜角

　　定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°

　�。�2）直線的斜率

　�、俣x：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當0，90時，k0；當90y2y1x2x1，180時，k0；當90時，k不存在。

　�、谶^兩點的直線的斜率公式：k(x1x2)

　　注意下面四點：

　　(1)當x1x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；

　　(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；

　　(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；

　　(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。

　　（3）直線方程

　�、冱c斜式：yy1k(xx1)直線斜率k，且過點x1，y1注意：當直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。

　　當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1。

　�、谛苯厥剑簓kxb，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b

　�、蹆牲c式：

　　yy1y2y1xyxx1x2x1（x1x2，y1y2）直線兩點x1，y1，x2，y2

　�、芙鼐厥剑�

　　ab其中直線l與x軸交于點(a，0)，與y軸交于點(0，b)，即l與x軸、y軸的截距分別為a，b。

　�、菀话闶剑�

　　AxByC0（A，B不全為0）

　　注意：○1各式的適用范圍○2特殊的方程如：

　　平行于x軸的直線：yb（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：

　　（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線

　�。ㄒ唬┢叫兄本€系

　�。ǘ┻^定點的直線系

　�。ǎ┬甭蕿閗的直線系：yy0kxx0，直線過定點x0，y0；（）過兩條直線l1：A1xB1yC10，l2xa（a為常數(shù)）；

　　平行于已知直線A0xB0yC00（A0，B0是不全為0的常數(shù)）的直線系：A0xB0yC0（C為常數(shù)）

　�。篈2xB2yC20的交點的直線系方程為

　　A1xB1yC1A2xB2yC20

　　（6）兩直線平行與垂直

　　當l1：yk1xb1，l2：yk2xb2時，為參數(shù)），其中直線l2不在直線系中。

　　l1//l2k1k2，b1b2；l1l2k1k21

　　注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。

　�。�7）兩條直線的交點

　　l1：A1xB1yC10l2：A2xB2yC20相交

　　AxB1yC10交點坐標即方程組1的一組解。

　　AxByC0222方程組無解l1//l2；方程組有無數(shù)解l1與l2重合

　�。�8）兩點間距離公式：設A(x1，y1)，B是平面直角坐標系中的兩個點，（x2，y2）則|AB|(x2x1)(y2y1)

　�。�9）點到直線距離公式：一點Px0，y0到直線l1：AxByC0的距離dAx0By0CAB22

　�。�10）兩平行直線距離公式

　　在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進行求解。

　　二、圓的方程

　　1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的.半徑。

　　2、圓的方程

　�。�1）標準方程xayb22r，圓心a，b，半徑為r；

　　（2）一般方程x當D22yDxEyF0

　　D222E24F0時，方程表示圓，此時圓心為2，1E，半徑為r22D2E24F

　　當DE4F0時，表示一個點；當DE4F0時，方程不表示任何圖形。

　�。�3）求圓方程的方法：

　　一般都采用待定系數(shù)法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標準方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；

　　另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。

　　3、直線與圓的位置關(guān)系：

　　直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

　　22（1）設直線l：AxByC0，圓C：xaybr2，圓心Ca，b到l的距離為dAaBbC，則有2222ABdrl與C相離；drl與C相切；drl與C相交

　�。�2）設直線l：AxByC0，圓C：xaybr，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令222其中的判別式為，則有0l與C相離；0l與C相切；0l與C相交

　　注：如果圓心的位置在原點，可使用公式xx0yy0r去解直線與圓相切的問題，其中x0，y0表示切點坐標，r表示2半徑。

　　(3)過圓上一點的切線方程：

　�、賵Ax2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為xx0yy0r(課本命題)．

　�、趫A(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣)．

　　4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設圓C1：xa1yb1r2，C2：xa22222yb222R

　　兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當dRr時兩圓外離，此時有公切線四條；

　　當dRr時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當RrdRr時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當dRr時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；當dRr時，兩圓內(nèi)含；當d三、立體幾何初步0時，為同心圓。

　　"（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，l為母線）

　　S直棱柱側(cè)面積S正棱臺側(cè)面積12chS圓柱側(cè)2rhS正棱錐側(cè)面積12ch"S圓錐側(cè)面積rl

　　(c1c2)h"S圓臺側(cè)面積(rR)l

　　S圓柱表2rrlS圓錐表rrlS圓臺表r2rlRlR2

　�。�3）柱體、錐體、臺體的體積公式

　　V柱ShV圓柱Sh211rhV錐ShV圓錐r2h

　　V臺13(S"SSS)hV圓臺"133(S"SSS)h2

　　"13(rrRR)h

　　22（4）球體的表面積和體積公式：V球=4R3；S球面=4R

　　4、空間點、直線、平面的位置關(guān)系

　�。�1）平面

　�、倨矫娴母拍睿篈.描述性說明；B.平面是無限伸展的；

　　②平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在一個銳角內(nèi)）；

　　也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。

　�、埸c與平面的關(guān)系：點A在平面內(nèi)，記作A；點A不在平面內(nèi)，記作A

　　點與直線的關(guān)系：點A的直線l上，記作：A∈l；點A在直線l外，記作Al；直線與平面的關(guān)系：直線l在平面α內(nèi)，記作lα；直線l不在平面α內(nèi)，記作lα。

　�。�2）公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi)。（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）應用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)用符號語言表示公理1：Al，Bl，A，Bl

　　（3）公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。

　　推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用：

　　①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)

　�。�4）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。符號語言：PABABl，Pl

　　公理3的作用：

　�、偎桥卸▋蓚€平面相交的方法。

　�、谒f明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點。

　　③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)。

　�。�5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

　�。�6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系

　�、佼惷嬷本€定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線

　　②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。

　�、郛惷嬷本€判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線

　　④異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明：

　　（1）判定空間直線是異面直線方法：

　�、俑鶕�(jù)異面直線的定義；

　�、诋惷嬷本€的判定定理

　　（2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位置無關(guān)。

　�、谇螽惷嬷本€所成角步驟：

　　A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。

　　B、證明作

　　出的角即為所求角C、利用三角形來求角

　�。�7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。

　�。�8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系

　　直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點．

　　三種位置關(guān)系的符號表示：aαa∩α＝Aa∥α

　�。�9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒有公共點；α∥β

　　相交有一條公共直線。α∩β＝b

　　5、空間中的平行問題

　�。�1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

　　線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行。線線平行線面平行

　　線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行

　�。�2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個平面平行的判定定理

　�。�1）如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（線面平行→面面平行）

　�。�2）如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應平行，那么這兩個平面平行。（線線平行→面面平行）

　�。�3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質(zhì)定理

　�。�1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。（面面平行→線面平行）

　�。�2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行）

　　7、空間中的垂直問題

　�。�1）線線、面面、線面垂直的定義

　�、賰蓷l異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。

　　②線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。

　　③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。

　�。�2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理

　�、倬€面垂直判定定理和性質(zhì)定理

　　判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

　�、诿婷娲怪钡呐卸ǘɡ砗托再|(zhì)定理

　　判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

　　性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。

　　9、空間角問題

　�。�1）直線與直線所成的角

　�、賰善叫兄本€所成的角：規(guī)定為0。

　�、趦蓷l相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。

　�、蹆蓷l異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線a，條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。（2）直線和平面所成的角

　�、倨矫娴钠叫芯€與平面所成的角：規(guī)定為0。

　�、谄矫娴拇咕€與平面所成的角：規(guī)定為90。

　�、燮矫娴男本€與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線，在解題時，注意挖掘題設中兩個主要信息：

　　（1）斜線上一點到面的垂線；

　　（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。

　�。�3）二面角和二面角的平面角

　　①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。

　�、诙娼堑钠矫娼牵阂远娼堑睦馍先我庖稽c為頂點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角．．．．．的平面角。

　�、壑倍娼牵浩矫娼鞘侵苯堑亩娼墙兄倍娼�。

　　兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角

　�、芮蠖娼堑姆椒�

　　定義法：在棱上選擇有關(guān)點，過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角

　　垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角7、空間直角坐標系

　　（1）定義：如圖，OBCDDABC是單位正方體.以A為原點，分別以OD，OA，OB的方向為正方向，建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。

　　這時建立了一個空間直角坐標系Oxyz.