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實(shí)用的平行四邊形教案錦集9篇
作為一名辛苦耕耘的教育工作者，就難以避免地要準(zhǔn)備教案，教案有利于教學(xué)水平的提高，有助于教研活動(dòng)的開展。那么你有了解過教案嗎？以下是小編整理的平行四邊形教案9篇，僅供參考，希望能夠幫助到大家。
平行四邊形教案 篇1
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
１、經(jīng)歷探索多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則的過程，發(fā)展有條理的思考及語言表達(dá)能力。
2、 會(huì)進(jìn)行簡單的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算
二、學(xué)習(xí)過程
（一）自學(xué)導(dǎo)航
1、創(chuàng)設(shè)情境
某地區(qū)在退耕還林期間，將一塊長m米、寬a米的長方形林區(qū)的長、寬分別增加n米和b米，用兩種方法表示這塊林區(qū)現(xiàn)在的面積。
這塊林區(qū)現(xiàn)在的長為 米，寬為 米。因而面積為________米2。
還可以把這塊林地分為四小塊，它們的面積分別為 米2， 米2，_______米2， 米2。故這塊地的面積為 。
由于這兩個(gè)算式表示的都是同一塊地的面積，則有 =
如果把（m+n）看作一個(gè)整體，你還能用別的方法得到這個(gè)等式嗎？
2、概括：
多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則：
3、計(jì)算
�。�1） （2）
4、練一練
�。�1）
�。ǘ┖献鞴リP(guān)
1、某酒店的廚房進(jìn)行改造，在廚房的中間設(shè)計(jì)一個(gè)準(zhǔn)備臺(tái)，要求四面的過道寬都為x米，已知廚房的長寬分別為8米和5米，用代數(shù)式表示該廚房過道的總面積。
2、解方程
（三）達(dá)標(biāo)訓(xùn)練
1、填空題：
（1） = =
�。�2） = 。
2、計(jì)算
（1） （2）
�。�3） (4)
（四）提升
1、怎樣進(jìn)行多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算？
2、若 的乘積中不含 和 項(xiàng)，則a= b=
應(yīng)用題
第三十五講 應(yīng)用題
在本講中將介紹各類應(yīng)用題的解法與技巧．
當(dāng)今數(shù)學(xué)已經(jīng)滲入到整個(gè)社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域，因此，應(yīng)用數(shù)學(xué)去觀察、分析日常生活現(xiàn)象，去解決日常生活問題，成為各類數(shù)學(xué)競賽的一個(gè)熱點(diǎn)．
應(yīng)用性問題能引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心生活、關(guān)心社會(huì)，使學(xué)生充分到數(shù)學(xué)與自然和人類社會(huì)的密切聯(lián)系，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心．
解答應(yīng)用性問題，關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去觀察、分析、概括所給的實(shí)際問題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型．其求解程序如下：
在初中范圍內(nèi)常見的數(shù)學(xué)模型有：數(shù)式模型、方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、平面幾何模型、圖表模型等．
例題求解
一、用數(shù)式模型解決應(yīng)用題
數(shù)與式是最基本的數(shù)學(xué)語言，由于它能夠有效、簡捷、準(zhǔn)確地揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，富有通用性和啟發(fā)性，因而成為描述和表達(dá)數(shù)學(xué)問題的重要方法．
【例1】(20xx年安徽中考題)某風(fēng)景區(qū)對(duì)5個(gè)旅游景點(diǎn)的門票價(jià)格進(jìn)行了調(diào)整，據(jù)統(tǒng)計(jì)，調(diào)價(jià)前后各景點(diǎn)的游客人數(shù)基本不變。有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：
景點(diǎn)ABCDE
原價(jià)（元）1010152025
現(xiàn)價(jià)（元）55152530
平均日人數(shù)（千人）11232
�。�1）該風(fēng)景區(qū)稱調(diào)整前后這5個(gè)景點(diǎn)門票的平均收費(fèi)不變，平均日總收入持平。問風(fēng)景區(qū)是怎樣計(jì)算的？
（2）另一方面，游客認(rèn)為調(diào)整收費(fèi)后風(fēng)景區(qū)的平均日總收入相對(duì)于調(diào)價(jià)前，實(shí)際上增加了約9.4%。問游客是 怎樣計(jì)算的？
�。�3）你認(rèn)為風(fēng)景區(qū)和游客哪一個(gè)的說法較能反映整體實(shí)際？
思路點(diǎn)撥 （1）風(fēng)景區(qū)是這樣計(jì)算的：
調(diào)整前的平均價(jià)格： ，設(shè)整后的平均價(jià)格：
∵調(diào)整前后的平均價(jià)格不變，平均日人數(shù)不變．
∴平均日總收入持平．
（ 2）游客是這樣計(jì)算的：
原平均日總收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）
現(xiàn)平均日總收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）
∴平均日總收入增加了
�。�3）游客的說法較能反映整體實(shí)際．
二、用方程模型解應(yīng)用題
研究和解決生產(chǎn)實(shí)際和現(xiàn)實(shí)生恬中有關(guān)問題常常要用到方程<組)的知識(shí)，它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系的角度去認(rèn)識(shí)和理解現(xiàn)實(shí)世界．
【例2】 (重慶中考題)某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，進(jìn)出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同．安全檢查中，對(duì)4道門進(jìn)行了測試：當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和兩道側(cè)門時(shí)，2min內(nèi)可以通過560名學(xué)生；當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和一道側(cè)門時(shí)，4mln內(nèi)可以通過800名學(xué)生．
(1)求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學(xué)生?
(2)檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時(shí)因?qū)W生擁擠，出門的效率降低20％．安全檢查規(guī)定：在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5min內(nèi)通過這4道門安全撤離．假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問：建造的這4道門整否符合安全規(guī)定?請(qǐng)說明理由．
思路點(diǎn)撥 列方程(組)的關(guān)鍵是找到題中等量關(guān)系：兩種測試中通過的學(xué)生數(shù)量．設(shè)未知數(shù)時(shí)一般問什么設(shè)什么．“符合安全規(guī)定”之義為最大通過量不小于學(xué)生總數(shù)．
(1)設(shè)平均每分鐘一道正門可以通過x名學(xué)生，一道側(cè)門可以通過y名學(xué)生，由題意得：
,解得：
(2)這棟樓最多有學(xué)生4×8×4 5=1440(名)．
擁擠時(shí)5min4道門能通過．
5×2(120+80)(1－20％)=1600(名),
因1600>1440，故建造的4道門符合安全規(guī)定．
三、用不等式模型解應(yīng)用題
現(xiàn)實(shí)世界中的不等關(guān)系是普遍存在的，許多問題有時(shí)并不需要研究它們之間的相等關(guān)系，只需要確定某個(gè)量的變化范圍，即可對(duì)所研究的問題有比較清楚的認(rèn)識(shí)．
【例3】 (蘇州中考題)我國東南沿海某地的風(fēng)力資源豐富，一年內(nèi)月平均的風(fēng)速不小于3m／s的時(shí)間共約160天，其中日平均風(fēng)速不小于6m／s的時(shí)間占60天．為了充分利用“風(fēng)能”這種“綠色資源”，該地?cái)M建一個(gè)小型風(fēng)力發(fā)電場，決定選用A、B兩種型號(hào)的風(fēng)力發(fā)電機(jī)，根據(jù)產(chǎn)品說明，這兩種風(fēng)力發(fā)電機(jī)在各種風(fēng)速下的日發(fā)電量(即一天的發(fā)電量)如下表：一天的發(fā)電量)如下表：
日平均風(fēng)速v(米/秒)v<33≤v<6v≥6
日發(fā)電量 (千瓦?時(shí))A型發(fā)電機(jī)O≥36≥150
B型發(fā)電機(jī)O≥24≥90
根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：
(1)若這個(gè)發(fā)電場購x臺(tái)A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)，則預(yù)計(jì)這些A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)一年的發(fā)電總量至少為 千瓦?時(shí)；
(2)已知A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)每臺(tái)O.3萬元，B型風(fēng)力發(fā)電機(jī)每臺(tái)O.2萬元．該發(fā)電場擬購置風(fēng)力發(fā)電機(jī)共10臺(tái)，希望購機(jī)的費(fèi)用不超過2.6萬元，而建成的風(fēng)力發(fā)電場每年的發(fā)電總量不少于102000千瓦?時(shí)，請(qǐng)你提供符合條件的購機(jī)方案．
根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：
思路點(diǎn)撥 (1) (100×36+60×150)x=12600x；
(2)設(shè)購A型發(fā)電機(jī)x臺(tái)，則購B型發(fā)電機(jī)(10—x)臺(tái),
解法一根據(jù)題意得：
解得5≤x ≤6．
故可購A型發(fā)電機(jī)5臺(tái)，B型發(fā)電機(jī)5臺(tái)；或購A型發(fā)電機(jī)6臺(tái)，B型發(fā)電視4臺(tái)．
四、用函數(shù)知識(shí)解決的應(yīng)用題
函數(shù)類應(yīng)用問題主要有以下兩種類型：(1)從實(shí)際問題出發(fā)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立函數(shù)關(guān)系；(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函數(shù)關(guān)系式．
【例4】 (揚(yáng)州)楊嫂在再就業(yè)中心的扶持下，創(chuàng)辦了“潤楊”報(bào)刊零售點(diǎn)．對(duì)經(jīng)營的某種晚報(bào)，楊嫂提供丁如下信息：
�、儋I進(jìn)每份0.20元，賣出每份0.30元；
②一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))，有20天每天可以賣出200份，其余10天每天只能賣出120份；
③一個(gè)月內(nèi)，每天從報(bào)社買進(jìn)的報(bào)紙份數(shù)必須相同．當(dāng)天賣不掉的報(bào)紙，以每份0.10元退回給報(bào)社；
(1)填表：
一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn)該種晚報(bào)的份數(shù)100150
當(dāng)月利潤(單位：元)
(2)設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)該種晚報(bào)x份，120≤x≤200時(shí)，月利潤為y元，試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求月利潤的最大值．
思路點(diǎn)撥(1)填表：
一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn)該種晚報(bào)的份數(shù)100150
當(dāng)月利潤(單位：元)300390
(2)由題意可知，一個(gè)月內(nèi)的20天可獲利潤：
20×=2x(元)；其余10天可獲利潤：
10=240—x(元)；
故y=x+240，(120≤x≤200)， 當(dāng)x=200時(shí)，月利潤y的最大值為440元．
注 根據(jù)題意，正確列出函數(shù)關(guān)系式，是解決問題的關(guān)鍵，這里特別要注意自變量x的取值范圍．
另外，初三還會(huì)提及統(tǒng)計(jì)型應(yīng)用題，幾何型應(yīng)用題．
【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)做，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用10天完成．
（1）求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的天數(shù)．
(2)如果請(qǐng)甲工程隊(duì)施工，公司每日需付費(fèi)用200 0元；如果請(qǐng)乙工程隊(duì)施工，公司每日需付費(fèi)用1400元．在規(guī)定時(shí)間內(nèi)：A．請(qǐng)甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程；B．請(qǐng)乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工 程； C．請(qǐng)甲、乙兩隊(duì)合作完成此項(xiàng)工程．以上方案哪一種花錢最少?
思路點(diǎn)撥 這是一道策略優(yōu)選問題．工程問題中：工作量=工作效率×工時(shí)．
(1)設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，根據(jù)題意得：
, x=30合題意，
所以，甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需用20天，乙隊(duì)需30天．
(2)各種方案所需的費(fèi)用分別為：
A．請(qǐng)甲隊(duì)需20xx×20=40000元；
B．請(qǐng)乙隊(duì)需1400×30=4200元；
C．請(qǐng)甲、乙兩隊(duì)合作需(20xx+1400)×12=40800元．
所隊(duì)單獨(dú)請(qǐng)甲隊(duì)完成此項(xiàng)工程花錢最少．
【例6】 (2全國聯(lián)賽初賽題)一支科學(xué)考察隊(duì)前往某條河流的上游去考察一個(gè)生態(tài)區(qū)，他們以每天17km的速度出發(fā)，沿河岸向上游行進(jìn)若干天后到達(dá)目的地，然后在生態(tài)區(qū)考察了若干天，完成任務(wù)后以每天25km的速度返回，在出發(fā)后的第60天，考察隊(duì)行進(jìn)了24km后回到出發(fā)點(diǎn)，試問：科學(xué)考察隊(duì)的生態(tài)區(qū)考察了多少天?
思路點(diǎn)撥 挖掘題目中隱藏條件是關(guān)鍵!
設(shè)考察隊(duì)到 生態(tài)區(qū)去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，則x+y+z=60，
17x－25y=－1，即25y－17x=1． ①
這里x、y是正整數(shù)，現(xiàn)設(shè) 法求出①的一組合題意的解，然后計(jì)算出z的值．
為此，先求出①的一組特殊解(x0，y0)，(這里x0，y0可以是負(fù)整數(shù))．用輾轉(zhuǎn)相除法．
25=l ×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25．
與①的左端比較可知，x0 =－3，y0=－2．
下面再求出①的合題意的解．
由不定方程的知識(shí)可知，①的一切整數(shù)解可表示為x=－3+25t，y=－2+17t，
∴ x+y=42t－5，t為整數(shù)．按題意0 ∴z=60—(x+y)=23． 答：考察隊(duì)在生態(tài)區(qū)考察的天數(shù)是23天． 注 本題涉及到的未知量多，最終轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程來解，希讀者仔細(xì)咀嚼所用方法． 【例7】 (江蘇省第17屆初中競賽題)華鑫超市對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠購物，規(guī)定如下： (1)若一次購物少于200元，則不予優(yōu)惠； (2)若一次購物滿200元，但不超過500元，按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠； (3)若一次購物超過500元，其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過500元部分給予八折 優(yōu)惠． 小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元．現(xiàn)在小亮決定一次去購 買小明分兩次購買的同樣多的物品，他需付款多少? 思路點(diǎn)撥 應(yīng)付198元購物款討論： 第一次付款198元，可是所購物品的實(shí)價(jià)，未 享受優(yōu)惠；也可能是按九折優(yōu)惠后所付的款．故應(yīng)分兩種情況加以討論． 情形1 當(dāng)198元為購物不打折付的錢時(shí)，所購物品的原價(jià)為198元 ． 又554=450+104，其中450元為購物500元打九折付的錢，104元為購物打八折付的錢；104÷0. 8 =130(元)． 因此，554元所購物品的原價(jià)為130+500=630(元)，于是購買小呀花198 +630=828(元)所購的全部物品，小亮一次性購買應(yīng)付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）． 情形2 當(dāng)198元為購物打九折付的錢時(shí)，所購物品的原價(jià)為198 ÷0.9=220(元) ．仿情形1的討論，，購220+630=850{元}物品一次性付款應(yīng)為500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)． 綜上所述，小亮一次去超市購買小明已購的同樣多的物品，應(yīng)付款712.40元或730元 【例8】 (20xx年全國數(shù)學(xué)競賽題)某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，2 天完成，需180000元；由乙、丙兩隊(duì)承包，3 天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊(duì)承包，2 天完成，需付160000元．現(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)隊(duì)承包費(fèi)用最少? 思路點(diǎn)撥 關(guān)鍵問題是甲、乙、丙單獨(dú)做各需的天數(shù)及獨(dú)做時(shí)各方日付工資．分兩個(gè)層次考慮： 設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)承包各需x、y、z天完成． 則 ，解得 再設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)工作一天，各需付u、v、w元， 則 ，解得 于是，由甲隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是45500×4=182000 (元)． 由乙隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是29500×6= 177000 (元)． 而丙隊(duì)不能在一周內(nèi)完成．所以由乙隊(duì)承包費(fèi)用最少． 學(xué)歷訓(xùn)練 （A級(jí)） 1．(河南)在防治“SARS”的戰(zhàn)役中，為防止疫情擴(kuò)散，某制藥廠接到了生產(chǎn)240箱過氧乙酸消毒液的任務(wù)．在生產(chǎn)了60箱后，需要加快生產(chǎn)，每天比原來多生產(chǎn)15箱，結(jié)果6天就完成了任務(wù)．求加快速度后每天生產(chǎn)多少箱消毒液? 2．(山東省競賽題)某市為鼓勵(lì)節(jié)約用水，對(duì)自來水妁收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定：每月每戶用水中不超過10t部分按0.45元／噸收費(fèi)；超過10t而不超過20t部分按每噸0.8元收費(fèi)；超過20t部分按每噸1.50元收費(fèi)，某月甲戶比乙戶多繳水費(fèi)7.10元，乙戶比丙戶多繳水費(fèi)3.75元，問甲、乙、丙該月各繳水費(fèi)多少?(自來水按整噸收費(fèi)) 3．(江蘇省競賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數(shù)學(xué)題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題．試問：難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題? 4．某人從A地到B地乘坐出租車有兩種方案，一種出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)10元，每千米1.2元；另一種出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)8元，每千米1.4元，問選擇哪一種出租車比較合適? (提示：根據(jù)目前出租車管理?xiàng)l例，車型不同，起步價(jià)可以不同，但起步價(jià)的最大行駛里程是相同的，且此里程內(nèi)只收起步價(jià)而不管其行駛里程是多少) �。˙級(jí)） 1．(全國初中數(shù)學(xué)競賽題)江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺(tái)抽水機(jī)抽水，40min可抽完；如果用4臺(tái)抽水機(jī)抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水機(jī) 臺(tái)． 2．(希望杯)有一批影碟機(jī)(VCD)原售價(jià)：800元／臺(tái)．甲商場用如下辦法促銷： 購買臺(tái)數(shù)1~5臺(tái)6~10臺(tái)11~15臺(tái)16~20臺(tái)20臺(tái)以上 每臺(tái)價(jià)格760元720元680元640元600元 乙商場用如下辦法促銷：每次購買1~8臺(tái)，每臺(tái)打九折；每次購買9~16臺(tái)，每臺(tái)打八五折； 每次購買17~24臺(tái)，每臺(tái)打八折；每次購買24臺(tái)以上，每臺(tái)打七五折． （1）請(qǐng)仿照甲商場的促銷列表，列出到乙商場購買VCD的購買臺(tái)數(shù)與每臺(tái)價(jià)格的對(duì)照表； (2)現(xiàn)在有A、B、C三個(gè)單位，且單位要買10臺(tái)VCD，B單位要買16臺(tái)VCD，C單位要買20臺(tái)VCD，問他們到哪家商場購買花費(fèi)較少? 3．(河北創(chuàng)新與知識(shí)應(yīng)用競賽題)某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數(shù)為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣．請(qǐng)你據(jù)此設(shè)計(jì)兌換方案． 4．從自動(dòng)扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛)，如果男孩和女孩都做勻速運(yùn)動(dòng)且男孩每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)是女孩的兩倍，已知男孩走了27級(jí)到達(dá)扶梯頂部，而女孩走了18級(jí)到達(dá)扶梯頂部(設(shè)男孩、女孩每次只踏—級(jí))．問： (1)扶梯露在外面的部分有多少級(jí)? (2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯，樓梯的級(jí)數(shù)和扶梯的級(jí)數(shù)相等，兩孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時(shí)走了多少級(jí)臺(tái)階? 5．某化肥廠庫存三種不同的混合肥，第一種 含磷60％，鉀40％，第二種含鉀10％，氮90％；第三種含鉀50％，磷20％，氮30％，現(xiàn)將三種肥混合成含氮45％的混合肥100?(每種肥都必須取)，試問在這三種不同混合肥的不同取量中，新混合肥含鉀的取值范圍． 6．(黃岡競賽題)有麥田5塊A、B、C、D、E，它們的產(chǎn)量，(單位：噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示，要建一座永久性打麥場，這5塊麥田生產(chǎn)的麥子都在此打場．問建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運(yùn)輸量最小?圖中圓圈內(nèi)的數(shù)字為產(chǎn)量，直線段上的字母a、b、d表示距離，且b < a 多邊形的邊角與對(duì)角線 j.Co M 第十四講 多邊形的邊角與對(duì)角線 邊、角、對(duì)角線是多邊形中最基本的概念，求多邊形的邊數(shù) 、內(nèi)外角度數(shù)、對(duì)角線條數(shù)是解與多邊形相關(guān)的基本問題，常用到三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)、外角和定理、不等式、方程等知識(shí)． 多邊形 的內(nèi)角和定理反映出一定的規(guī)律性：(n－2)×180°隨n的變化而變化；而多邊形的外角和定理反映出更本質(zhì)的規(guī)律；360°是一個(gè)常數(shù)，把內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題，以靜制動(dòng)是解多邊形有關(guān)問題的常用技巧． 將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來處理是解多邊形問題的基本策略，連對(duì)角線或向外補(bǔ)形、對(duì)內(nèi)分割是轉(zhuǎn)化的常用方法，從凸 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線把 凸 邊形分成 個(gè)多角形，凸n邊形一共可引出 對(duì)角線． 例題求解 【例1】在一個(gè)多邊形中，除了兩個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為20xx°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 ． (江蘇省競賽題) 思路點(diǎn)撥 設(shè)除去的角為°，y°，多邊形的邊數(shù) 為 ，可建立關(guān)于x、y的不定方程；又0° 鏈接 世界上的萬事萬物是一個(gè)不斷地聚合和分裂的過程，點(diǎn)是幾何學(xué)最原始的概念，點(diǎn)生線、線生面、面生體，幾何元素的聚合不斷產(chǎn)生新的圖形，另一方面，不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形，發(fā)現(xiàn)新的幾何性質(zhì)，多邊形可分成三角形，三角形可以合成其他 一些幾何圖形． 【例2】 在凸10邊形的所有內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)最多是( ) A．0 B．1 C．3 D．5 (全國初中數(shù)學(xué)競賽題) 思路點(diǎn)撥 多邊形的內(nèi)角和是隨著多邊形的邊數(shù)變化而變化的，而外角和卻總是不變的，因此，可把內(nèi)角為銳角的個(gè)數(shù)討論轉(zhuǎn)化為 外角為鈍角的個(gè)數(shù)的探討． 【例3】 如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4，若將此三角形沿AD剪開成為兩個(gè)三角形，在平面上把這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)四邊形，你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫出所拼四邊形的示意圖(標(biāo)出圖中直角)，并分別寫出所拼四邊形的對(duì)角線的長． (烏魯木齊市中考題) 思路點(diǎn)撥 把動(dòng)手操作與合情想象相結(jié)合 ，解題的關(guān)鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對(duì)角線有不同情形． 注 教學(xué)建模是當(dāng)今教學(xué)教育、考試改革最熱門的一個(gè)話題，簡單地說，“數(shù)學(xué)建�！本褪峭ㄟ^數(shù)學(xué)化(引元、畫圖等)把實(shí)際問題特化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，再運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)方法(模型)解決問題． 本例通過設(shè)元，把“沒有重疊、沒有空隙”轉(zhuǎn)譯成等式，通過不定方程求解． 【例4】 在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌)，這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角(360°)時(shí)，就拼成了一個(gè)平面圖形． (1)請(qǐng)根據(jù)下列圖形，填寫表中空格： (2)如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形? (3)從正三角形、正四邊形，正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請(qǐng)畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個(gè)平面圖形(草圖)；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面 圖形?說明你的理由． (陜西省中考題) 思路點(diǎn)撥 本例主要研究兩個(gè)問題：①如果限用一種正多邊形鑲嵌，可選哪些正多邊形；②選用兩種正多邊形鑲嵌，既具有開放性，又具有探索性．假定正n邊形滿足鋪砌要求，那么在它的頂點(diǎn)接合的地方，n個(gè)內(nèi)角的和為360°，這樣，將問題的討論轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解． 【例5】 如圖，五邊形ABCDE的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個(gè)單位，得到新的五邊形A'B'C'D'E'． （1）圖中5塊陰影部分即四邊形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一個(gè)五邊形嗎?說明理由． (2)證明五邊形A'B'C'D'E'的周長比五邊形ABCD正的周長至少增加25個(gè)單位． (江蘇省競賽題) 思路點(diǎn)撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個(gè)五邊形須滿足條件：，A'GB'； B'PC'； C'ND'；D'LE'；E'IA'三點(diǎn)分別共線；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周長等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I，用圓的周長逼近估算． 1．如圖，用硬紙片剪一個(gè)長為16cm、寬為12cm的長方形，再沿對(duì)角線把它分成兩個(gè)三角形，用這兩個(gè)三角形可拼出各種三角形和四邊形來，其中周長最大的是 ?，周長最小的是 cm． (選6《莢國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》) 2．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ． 3．如圖，ABCD是凸四邊形，AB=2，BC=4，CD=7，則線段AD的取值范圍是 ． 4．用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律，拼成若干個(gè)圖案： (1)第4個(gè)圖案中有白色地面磚 塊； (2)第n個(gè)圖案中有白色地面磚 塊． (江西省中考題) 5．凸n邊形中有且僅有兩個(gè)內(nèi)角為鈍角，則n的最大值是( ) A．4 B．5 C． 6 D．7 ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 6．一個(gè)凸多邊 形的每一內(nèi)角都等于140°，那么，從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)是( ) A．9條 B．8條 C．7條 D． 6條 7．有一個(gè)邊長為4m的正六邊形客廳，用邊長為50cm的正三角形瓷磚鋪滿，則需要這種瓷磚( ) A．216塊 B．288塊 C．384塊 D．512塊 ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 8．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，△ACD是一個(gè)含有30°角的直角三角形，現(xiàn)將△ABC和△ACD拼成一個(gè)凸四邊形ABCD． �。�1）)畫出四邊形ABCD； (2)求出四邊形ABCD的對(duì)角線BD的長． (上海市閔行區(qū)中考題) 9．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC=90°，∠BCD＝150°，求∠BAD的度數(shù)． (北京市競賽題) 10．如圖，在五邊形A1A2A3A4A5中，Bl是A1的對(duì)邊A3A4的中點(diǎn)，連結(jié)A1B1，我們稱A1B1是這個(gè)五邊形的一條中對(duì)線，如果五邊形的每條中對(duì)線都將五邊形的面積分成相等的兩部分，求證：五邊形的每條邊都有一條對(duì)角線和它平行． (安徽省中考題) 11．如圖，凸四邊形有 個(gè)；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ． (重慶市競賽題) 12．如圖，延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個(gè)角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它們的.和等于 ；若延長凸n邊形(n≥5)的各邊相交，則得到的n個(gè)角的和等于 ． ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 13．設(shè)有一個(gè)邊長為1的正三角形，記作A1(圖a)，將每條邊三等分，在中間的線段上向外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A 2(圖b)，再將每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A3(圖c)；再將每條邊三 等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A4，那么，A4的周長是 ；A4這個(gè)多邊形的面積是原三角形面積的 倍． (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題) 14．如圖，六邊形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，F(xiàn)A—CD=3，則BC+DC= ． (北京市競賽題) 15．在一個(gè)n邊形中，除了一個(gè)內(nèi)角外，其余(n一1)個(gè)內(nèi)角的和為2750°，則這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為( ) A．130° D．140° C ．105° D．120° 16．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=2 ，AC=6，AD=3，則CD的長為( ) A．4 B．4 C．3 D． 3 (江蘇省競賽題) 注 按題中的方法'不斷地做下去，就會(huì)成為下圖那樣的圖形，它的邊界有一個(gè)美麗的名稱——雪花曲線或 科克曲線(瑞典數(shù)學(xué)家)，這類圖形稱為“分形”，大量的物理、生物與數(shù)學(xué)現(xiàn)象都導(dǎo)致分形，分形是新興學(xué)科“混沌”的重要分支． 17．如圖，設(shè)∠CGE=α，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( ) A．360°一α B．270°一αC．180°+α D．2α (山東省競賽題) 18．平面上有A、B，C、D四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在一直線上，求證：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角不超過45°． 19．一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果用較小的相同正方形地磚，那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知n及地磚的邊長都是整數(shù)，求n． (上海市競賽題) 20．如圖，凸八邊形ABCDEFGH的8 個(gè)內(nèi)角都相等，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長分別為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長． 21．如圖l是一張可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開后支撐起來放在地面上的情況，如果折疊起來，床頭部分被折到了床面之下(這里的A、B、C、D各點(diǎn)都是活動(dòng)的)，活動(dòng)床頭是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性設(shè)計(jì)而成的，其折疊過程可由圖2的變換反映出來． 如果已知四邊形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多長時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)上述的折疊變化? (淄博市中考題) 22．一個(gè)凸n邊形由若干個(gè)邊長為1的正方形或正三角形無重疊、無間隙地拼成，求此凸n邊形各個(gè)內(nèi)角的大小，并畫出這樣的 凸n邊形的草圖． 圖形的平移與旋轉(zhuǎn) 前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家亞格龍將幾何學(xué)定義為：幾何學(xué)是研究幾何圖形在運(yùn)動(dòng)中不變的那些性質(zhì)的學(xué)科． 幾何變換是指把一個(gè)幾何圖形Fl變換成另一個(gè)幾何圖形F2的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、旋轉(zhuǎn)是常見的合同變換． 如圖1，若把平面圖形Fl上的各點(diǎn)按一定方向移動(dòng)一定距離得到圖形F2后，則由的變換叫平移變換． 平移前后的圖形全等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等． 如圖2，若把平面圖Fl繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到圖形F2，則由Fl到F2的變換叫旋轉(zhuǎn)變換，其中定點(diǎn)叫旋轉(zhuǎn)中心，定角叫旋轉(zhuǎn)角． 旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等． 通過平移或旋轉(zhuǎn)，把部分圖形搬到新的位置，使問題的條件相對(duì)集中，從而使條件與待求結(jié)論之間的關(guān)系明朗化，促使問題的解決． 注 合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換．等積變換，只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換，只保留線段間的比例關(guān)系，而線段本身的大小要改變． 例題求解 【例1】如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA：PB：PC＝1：2：3，則∠APD= ． 思路點(diǎn)撥 通過旋轉(zhuǎn)，把PA、PB、PC或關(guān)聯(lián)的線段集中到同一個(gè)三角形． 【例2】 如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M，N，使∠MCN=45°，記AM＝m，MN= x，DN=n，則以線 段x、m、n為邊長的三角形的形狀是( ) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨x、m、n的變化而改變 思路點(diǎn)撥 把△ACN繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個(gè)與∠MCN相等的角，在一條直線上的m、 x、n 集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可． 注 下列情形，常實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換： (1)圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形，把旋轉(zhuǎn)角分別定為60°、90°； (2)圖形中有線段的中點(diǎn)，將圖形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造中心對(duì)稱全等三角形； (3)圖形中出現(xiàn)有公共端點(diǎn)的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合． 【例3】 如圖，六邊形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，對(duì)邊之差BC－EF＝ED?AB＝AF?CD>0，求證：該六邊形的各角相等． (全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題) 思路點(diǎn)撥 設(shè)法將復(fù)雜的條件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一個(gè)基本圖形表示，題設(shè)中有平行條件，可考慮實(shí)施平移變換． 注 平移變換常與平行線相關(guān)，往往要用到平行四邊形的性質(zhì)，平移變換可將角，線段移到適當(dāng)?shù)奈恢�，使分散的條件相對(duì)集中，促使問題的解決． 【例4】 如圖，在等腰△ABC的兩腰AB、AC上分別取點(diǎn)E和F，使AE=CF．已知BC=2，求證：EF≥1． (西安市競賽題) 思路點(diǎn)撥 本例實(shí)際上就是證明2EF≥BC，不便直接證明，通過平移把BC與EF集中到同一個(gè)三角形中． 注 三角形中的不等關(guān)系，涉及到以下基本知識(shí)： (1)兩點(diǎn)間線段最短，垂線段最短； (2)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊； (3)同一個(gè)三角形中大邊對(duì)大角(大角對(duì)大邊)，三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角． 【例5】 如圖，等邊△ABC的邊長為 ，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的長． (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 思路點(diǎn)撥 題設(shè)條件滿足勾股關(guān)系PA2+PB2＝PC2的三邊PA、PB、PC不構(gòu)成三角形，不能直接應(yīng)用，通過旋轉(zhuǎn)變換使其集中到一個(gè)三角形中，這是解本例的關(guān) 鍵． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)將△ABP繞點(diǎn)B顧時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)能與△CBP′重合，若PB=3，則PP′= ． 2．如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝6，PB=8，PC＝10，則∠APB ． 3．如圖，四邊形ABC D中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，則CD的長為 ． 4．如圖，把△ABC沿AB邊平移到△A'B'C'的位置，它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半，若AB= ，則此三角形移動(dòng)的距離AA'是( ) A． B． C．l D． (20xx年荊州市中考題) 5．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)C、F，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF= S△ABC；④EF=AP． 當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合)，上述結(jié)論中始終正確的有( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C ．3個(gè) D．4個(gè) (20xx年江蘇省蘇州市中考題) 6．如圖，在四邊形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四邊形ABCD d=8，則BE的長為( ) A．2 B．3 C ． D． (20xx年武漢市選拔賽試題) 7．如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為 和 ，對(duì)角線BD、FH都在直線 上，O1、O2分別為正方形的中心，線段O1O2的長叫做兩個(gè)正方形的中心距，當(dāng)中心O2在直線 上平移時(shí)，正方形EFGH也隨之平移，在平移時(shí)正方形EFGH的形狀、大小沒有變化． (1)計(jì)算：O1D= ，O2F= ； (2)當(dāng)中心O2在直線 上平移到兩個(gè)正方形只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，中心距O1O2= ； (3)隨著中心O2在直線 上平移，兩個(gè)正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)還有哪些變化?并求出相對(duì)應(yīng)的中心距的值或取值范圍(不必寫出計(jì)算過程)． (徐州市中考題) 8．圖形的操做過程（本題中四個(gè)矩形的水平方向的邊長均為a，豎直 方向的邊長均為b）： 在圖a中，將線段A1A2向右平移1個(gè)單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2（即陰影部分）； 在圖b中， 將折線A1A2A3向右平移1個(gè)單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3（即陰影部分）； �。�1）在圖c中,請(qǐng)你類似地畫一條有兩個(gè)折點(diǎn)的折線,同樣向右平移1個(gè)單位,從而得到一個(gè)封閉圖形,并用斜線畫出陰影； �。�2）請(qǐng)你分別寫出上述三個(gè)圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：S1= ，,S2= ，S3= ； �。�3）聯(lián)想與探索： 如圖d，在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個(gè)單位），請(qǐng)你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說明你的猜想是正確的． (20xx年河北省中考題) 9．如圖，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN是等邊三角形，求證：AN＝BM． 說明及要求：本題是《幾何》第二冊(cè)幾15中第13題，現(xiàn)要求： (1)將△ACM繞C點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，使A點(diǎn)落在CB上，請(qǐng)對(duì)照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形(不寫作法，保留作圖痕跡)． (2)在①所得的圖形中，結(jié)論“AN＝BM”是否還成立?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由． (3)在①得到的圖形中，設(shè)MA的延長線與BN相交于D點(diǎn)，請(qǐng)你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀，并證明你的結(jié)論． 10．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜邊BC上距離B點(diǎn)3cm的點(diǎn)P為中心，把這個(gè)三角形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，則旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)直角三角形重疊部分的面積是 cm2． 11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，點(diǎn)E在DC上，AE、BC的延長線交于點(diǎn)F，若AE=10，則S△ADE+S△CEF的值是 ． (紹興市中考題) 12．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系是( ) A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PCC． PA+PB+PC＝AB+AC D．無法確定 13．如圖，設(shè)P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離分別為2、3，則PC所能達(dá)到的最大值為( ) A． B． C ．5 D．6 (20xx年武漢市選拔賽試題) 14．如圖，已知△ABC中，AB=AC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC 延長線上一點(diǎn)，BD=CE，連DE，求證：DE>DC． 15．如圖，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA、PB、PC的長為正整數(shù)，且PA2+PB2=PC2，設(shè)PA=m，n為大于5的實(shí)數(shù)，滿 ，求△ABC的面積． 16．如圖，五羊大學(xué)建立分校，校本部與分校隔著兩條平行的小河， ∥ 表示小河甲， ∥ 表示小河乙，A為校本部大門，B為分校大門，為方便人員來往，要在兩條小河上各建一座橋，橋面垂直于河岸．圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河垂直距離為40米，B到乙河垂直距離為20米，兩河距離100米，A、B兩點(diǎn)水平距離(與小河平行方向)120米，為使A、B兩點(diǎn)間來往路程最短，兩座橋都按這個(gè)目標(biāo)而建，那么，此時(shí)A、D兩點(diǎn)間來往的路程是多少米? (“五羊杯”競賽題) 17．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)O到△ABC各邊的距離都等于1，將△ABC繞 點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得△A1BlC1 ，兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ． (1)證明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形； (2)求△ABC與△A1BlC1公共部分的面積． (山東省競賽題) 18．(1)操作與證明：如圖1，O是邊長為a的正方形ACBD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值． (2)嘗試與思考：如圖2，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正三角形或正五邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)， 當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a；當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度也為定值a． (3)探究與引申：一般地，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分 的總長度為定值a；這時(shí)正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值?若為定值，寫出它與正n邊形面積S之間的關(guān)系；若不是定值，請(qǐng)說明理由． 教學(xué)目標(biāo)： �。�1）引導(dǎo)學(xué)生在探究、理解的基礎(chǔ)上，掌握面積計(jì)算公式，體驗(yàn)其推導(dǎo)過程。能正確計(jì)算平行四邊形面積。 （2）通過對(duì)圖形的觀察、比較和動(dòng)手操作,發(fā)展學(xué)生的空間觀念,滲透轉(zhuǎn)化和平移的思想。 �。�3）在數(shù)學(xué)活動(dòng)中,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)探究的精神,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。 教學(xué)重點(diǎn)： 理解并掌握平行四邊形的面積計(jì)算公式，并能用公式解決實(shí)際問題。 教學(xué)難點(diǎn)： 理解平行四邊形的面積公式的推導(dǎo)過程。 教具、學(xué)具準(zhǔn)備： 課件、長方形和平行四邊形圖片、剪刀、平行四邊形框架等。 教學(xué)過程： 一、創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課。 大家請(qǐng)看大屏幕（欣賞綏濱農(nóng)場風(fēng)景圖片），我們學(xué)校門口有兩個(gè)花壇，小明認(rèn)為長方形的花壇大，而小剛認(rèn)為平行四邊形的花壇大，誰說的對(duì)呢？你想來幫他們?cè)u(píng)判一下嗎？（想） 你認(rèn)為要根據(jù)什么來確定花壇的大小呢？（花壇的面積）長方形的面積我們會(huì)求，那平行四邊形的面積我們?cè)鯓忧竽�？這節(jié)課，我們就共同來探討平行四邊形的面積。（板書課題） 出示長方形和平行四邊形教具，引導(dǎo)學(xué)生觀察后說一說長方形和平行四邊形的各部分名稱。長方形與平行四邊形有什么區(qū)別呢？（引導(dǎo)學(xué)生說出長方形四個(gè)角都是直角）(板書各部分名稱，標(biāo)注直角符號(hào)。)請(qǐng)大家回憶一下，我們以前學(xué)長方形面積公式時(shí)用過什么方法來求面積，誰來說一說？我們用過數(shù)方格的方式求過長方形和正方形的面積。那我們能不能也用數(shù)方格的方式求平行四邊形的面積呢?（課件演示） 二、自主探究，合作驗(yàn)證 探究一：用數(shù)方格的的方法探究平行四邊形的面積。 請(qǐng)大家打開你們的百寶箱（學(xué)具袋），里面有老師把兩個(gè)花壇按比例縮小成的兩張卡片，自己判斷一下能不能用數(shù)方格的方法來求平行四邊形的面積，認(rèn)真按提示填表。出示溫馨提示： �、僭趦蓚�(gè)圖形上數(shù)一數(shù)方格的數(shù)量，然后填寫下表。（一個(gè)方格代表1㎡，不滿一格的都按半格計(jì)算。）教師強(qiáng)調(diào)半個(gè)格的意思。 �、� 填完表后，同學(xué)們相互議一議，并談一談發(fā)現(xiàn)。 你是怎么數(shù)的?你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？能猜測一下平行四邊形的面積公式是什么嗎？（學(xué)生匯報(bào)） 探究二：用割補(bǔ)的方法來驗(yàn)證猜測。 小明和小剛通過數(shù)格子后和我們有了一樣的.猜測，但為了證實(shí)自己的猜測的正確性，想驗(yàn)證一下。同時(shí)也想總結(jié)出平行四邊形的面積公式。你想?yún)⑴c嗎？學(xué)生小組討論。（鼓勵(lì)學(xué)生盡量想辦法，辦法不唯一。） 我們已經(jīng)會(huì)求哪幾種圖形的面積了？（預(yù)設(shè)：學(xué)生回答會(huì)求長方形和正方形的面積），接著小組合作：大家想想辦法，試試能不能把平行四邊形轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的圖形，然后在求它的面積呢？請(qǐng)大家拿起你的小剪刀試試看吧！出示合作探究提綱：（出示教學(xué)課件） �。�1）用剪刀將平行四邊形轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的其他圖形。（剪的次數(shù)越少越好。） �。�2）剪完后試一試能拼成什么圖形？ 師：你轉(zhuǎn)化成什么圖形了？你能說一說轉(zhuǎn)化過程嗎？轉(zhuǎn)化后的圖形和平行四邊形各部分是什么關(guān)系？下面我們回顧一下我們的發(fā)現(xiàn)過程（大屏幕出示）： 回顧發(fā)現(xiàn)過程: 1、把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形后，（ ）沒變。因?yàn)殚L方形的長等于平行四邊形的（ ），寬等于平行四邊形的（ ），所以平行四邊形的面積=（ ），用字母表示是（ ） 2、求平行四邊形的面積必須知道平行四邊形的（ ） 和（ ）。 探究過程小結(jié)（板書） 師：小剛和小明馬上到校門前測量了長方形和平行四邊形。得出：長方形的長是6米，寬是4米，平行四邊形的底是6米，高是4米。 然后他們手拉手找到老師說了一些話。你知道他們說了什么？ 生:長方形和平行四邊形的面積一樣大。為什么會(huì)一樣大？誰來講解一下。（指名板演） 三、運(yùn)用新知，練中發(fā)現(xiàn) 1、基本練習(xí) （1）口算下面各平行四邊形的面積 A、底12米，高3米： B、高 4米，底9米； C、底36米，高1米 通過這組練習(xí)，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？（教學(xué)課件） 發(fā)現(xiàn)一：發(fā)現(xiàn)面積相等的平行四邊形，不一定等底等高。 �。�2）畫平行四邊形比賽（大屏幕出示比賽規(guī)則） 比賽規(guī)則： 1、拿出百寶箱中的方格紙。在方格紙上的兩條平行線間，畫底為六個(gè)格（底固定），看能畫出多少個(gè)平行四邊形。 2、誰在一分鐘之內(nèi)畫的多，誰就獲勝。學(xué)生畫完后（用實(shí)物展示臺(tái)展示，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)） 發(fā)現(xiàn)二：1.發(fā)現(xiàn)只要等底等高，平行四邊形面積就一定相等。 2.等底等高的平行四邊形，形狀不一定完全相同。 四、總結(jié)收獲，拓展延伸 1、通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你知道了什么？ 2、小明和小剛學(xué)完這節(jié)課后把他們的收獲寫了下來，你們想知道是什么嗎？ 大屏幕出示（教學(xué)課件演示） 平行四邊形，特點(diǎn)記心中。 面積同樣大，形狀可不同。 等底又等高，面積準(zhǔn)相同。 要是求面積，底高來相乘。 （齊讀） 希望同學(xué)們也要向小明和小剛一樣，經(jīng)常把學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，做一個(gè)學(xué)習(xí)上的有心人。 拓展延伸 請(qǐng)大家看老師的演示。（用平行四邊形框架演示由長方形拉成平行四邊形）。如果把長方形拉成平行四邊形，周長和面積有沒有變化呢？課后我們可以小組合作，親自動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)進(jìn)行研究，并把發(fā)現(xiàn)記錄下來，作為今天的作業(yè)。 五、板書設(shè)計(jì)： 教學(xué)內(nèi)容 本冊(cè)教材第37—38頁上的內(nèi)容，完成第37頁上的“做一做”。 教學(xué)目的 1、使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)平行四邊形，了解平行四邊形的特點(diǎn)。 2、通過學(xué)生手動(dòng)、腦想、眼看，使學(xué)生在多種感官的協(xié)調(diào)活動(dòng)中積累感性認(rèn)識(shí)，發(fā)展空間觀念。 教學(xué)重點(diǎn) 探究平行四邊形的特點(diǎn)。 教學(xué)難點(diǎn) 讓學(xué)生動(dòng)手畫、剪平行四邊形。 教學(xué)過程 （一）認(rèn)識(shí)平行四邊形 1、出示主題圖。 從圖中你看到了哪些圖形，指給同桌看。 2、出示帶有平行四邊形的實(shí)物圖片。 師：它們是正方形嗎？是長方形嗎？（學(xué)生回答后，教師接著問。） 師：它們有幾條邊？幾個(gè)角？它們叫什么圖形呢？ 學(xué)生回答后教師說明：這樣的'圖形叫平行四邊形。 3、感受平行四邊形的特點(diǎn) �。�1）讓學(xué)生拿出三條硬紙條，用圖釘把它們釘成三角形，然后拉一拉。（學(xué)生一邊拉一邊說自己的感受） �。�2）讓學(xué)生拿出教師給他們準(zhǔn)備的四條硬紙條，用圖釘把它們釘成一個(gè)平行四邊形形，然后拉一拉。（學(xué)生一邊拉一邊說自己的感受） �。�3）小組討論操作：怎樣才能使平行四邊形拉不動(dòng)呢？ 學(xué)生匯報(bào)時(shí)，要說說理由。 （二）掌握平行四邊形。 1、在釘子板上“鉤”。 你認(rèn)為什么樣的圖形是平行四邊形呢？在釘子板上圍圍看。（學(xué)生動(dòng)手操作， 然后匯報(bào)、展示） 2、在方格紙上“畫”。 讓學(xué)生在方格紙上畫出一個(gè)平行四邊形。（學(xué)生動(dòng)手操作，然后匯報(bào)、展示） 3、折一折、剪一剪。 你會(huì)剪一個(gè)平行四邊形嗎？（學(xué)生動(dòng)手操作，然后匯報(bào)、展示并說說各自不同的剪法。） 4、通過上面的活動(dòng)，你發(fā)現(xiàn)平行四邊形是一個(gè)什么樣的圖形？（小組討論） （三）鞏固平行四邊形。 1、課堂練習(xí)：完成練習(xí)九第1—3題。 2、課外練習(xí)：完成練習(xí)九第5題。 教學(xué)內(nèi)容： 人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)第87～88頁例1及相關(guān)練習(xí)。 教學(xué)目標(biāo)： 1．通過操作、觀察、比較等活動(dòng)，自主探索平行四邊形面積計(jì)算公式，滲透轉(zhuǎn)化思想。 2．能正確地應(yīng)用公式計(jì)算平行四邊形的面積。 教學(xué)重點(diǎn)： 探索并掌握平行四邊形面積計(jì)算公式。 教學(xué)難點(diǎn)： 理解平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。 教學(xué)準(zhǔn)備： 課件，一個(gè)框架式可以活動(dòng)的平行四邊形教具，為學(xué)生準(zhǔn)備一張底為6 cm、高為4 cm的平行四邊形紙張。 教學(xué)過程： 一、激趣引入 1．游戲。面積比大�。耗隳芎芸毂容^出下面每組圖中陰影部分面積的大小嗎？ 你怎么知道它們的面積一樣大的？（反饋重點(diǎn)：①數(shù)方格；②轉(zhuǎn)化成長方形。） 2．（出示平行四邊形）這個(gè)圖形是？（平行四邊形）。關(guān)于平行四邊形，大家已經(jīng)知道了哪些知識(shí)？ 3．揭示課題：今天，這節(jié)課我們要來研究平行四邊形的面積，誰能說說平行四邊形的面積指的是哪部分呢？ 【設(shè)計(jì)意圖】轉(zhuǎn)化的思想是推導(dǎo)平面圖形面積計(jì)算方法的指導(dǎo)思想，作為本單元的起始課，通過面積比大小的游戲，讓學(xué)生意識(shí)到不僅可以通過數(shù)方格來比較圖形的大小，還可以通過剪拼轉(zhuǎn)化成熟悉的圖形進(jìn)行大小比較，既富有趣味性，又能為新知的探究做好鋪墊。 二、新知探究 （一）合理猜想 1．確實(shí)，由四條邊圍成的封閉圖形的大小就是平行四邊形的面積。那么同學(xué)們猜想一下，這個(gè)平行四邊形的面積可能會(huì)怎么計(jì)算？并說說你的理由。 預(yù)設(shè)1：鄰邊相乘； 預(yù)設(shè)2：底邊乘高。 2．同桌互相說一說，你同意哪一種猜想？理由是什么？ 3．反饋想法。 預(yù)設(shè)1：長方形的面積是長乘寬，所以平行四邊形的面積是底乘鄰邊。把平行四邊形拉一拉就可以變成長方形。 預(yù)設(shè)2：用底邊乘高來計(jì)算�？梢酝ㄟ^剪一剪、拼一拼，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，再計(jì)算面積。 �。ǘ�(yàn)證猜想 同學(xué)們都想到將平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化成長方形的面積來計(jì)算，那么這兩種方法有什么不同？哪種方法更合理呢？ 1．鄰邊相乘的想法 教師：就讓我們先來研究一下拉的方法。（出示教具）請(qǐng)看，我們?cè)俅温匕言瓉淼钠叫兴倪呅卫砷L方形，仔細(xì)觀察拉動(dòng)前后什么沒有變，什么發(fā)生了變化？ 學(xué)生：邊的長短沒變，高和面積變了。 教師追問：周長變了嗎？面積變大了還是變小了？能在圖上更直觀地表示出來嗎？ 教師：現(xiàn)在誰能說說這種拉的方法合理嗎？為什么？ 教師小結(jié)：是的，在拉動(dòng)前后平行四邊形的面積與長方形的面積不相等。用底乘鄰邊算出的不是平行四邊形的面積，而是拉動(dòng)后的長方形的面積。所以用拉的方法計(jì)算平行四邊形的面積是不正確的。 【設(shè)計(jì)意圖】利用教具進(jìn)行操作對(duì)比，讓學(xué)生通過觀察自覺修正自己的想法。 2．底邊乘高的想法 �。�1）數(shù)格子驗(yàn)證 教師：這里的一些不是整格的怎么數(shù)？ 學(xué)生：可以通過拼一拼，變成整格的再數(shù)。 教師：拼一拼后，就變成了什么形狀？這個(gè)長方形的長和寬分別是多少？所以面積是多少？ �。�2）剪拼驗(yàn)證 教師：誰來展示你是如何進(jìn)行剪接的？ 學(xué)生：沿高剪下，補(bǔ)到另一邊，拼成長方形。 教師：拼成的是一個(gè)怎樣的長方形？（長6 cm，寬4 cm） 那這個(gè)長方形的面積怎么算？（平行四邊形的面積是24 cm2）。 【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生大膽提出假設(shè)，并讓學(xué)生自主思考通過數(shù)格子、剪拼等實(shí)踐操作進(jìn)行驗(yàn)證。在操作反饋中，讓他們?cè)诤屯瑢W(xué)、老師的交流過程中，展示自己的想法，完善自己的思考，對(duì)于知識(shí)的獲取是很有益處的。 �。ㄈ┕酵茖�(dǎo) 教師：仔細(xì)觀察， 拼成的長方形的.長和寬分別相當(dāng)于原來的平行四邊形中的哪兩部分？ 學(xué)生：長方形的長與平行四邊形的底相等，長方形的寬與原來平行四邊形的高相等。 教師：那么根據(jù)長方形的面積計(jì)算公式，平行四邊形的面積該怎么計(jì)算呢？ 教師：如果我們用 表示平行四邊形的面積，用 表示平行四邊形的底，用 表示平行四邊形的高，那么平行四邊形的面積計(jì)算公式可以用 來表示。 �。ㄋ模┗仡櫩偨Y(jié) 回顧剛才的學(xué)習(xí)過程，誰能說說我們是怎樣學(xué)習(xí)平行四邊形的面積的計(jì)算方法的？ 【設(shè)計(jì)意圖】通過觀察對(duì)比，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化前后圖形之間的相同點(diǎn)之后，溝通兩個(gè)圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，順利地把新知轉(zhuǎn)化為舊知，從而順利推導(dǎo)出平行四邊形面積的計(jì)算公式。 三、練習(xí)鞏固 �。ㄒ唬┗A(chǔ)練習(xí) 1．完成練習(xí)十九第1題。 （1）請(qǐng)學(xué)生計(jì)算，并進(jìn)行訂正。 �。�2）反饋小結(jié)：在計(jì)算時(shí)，可以先寫出面積公式，再進(jìn)行計(jì)算。 2．完成練習(xí)十九第2題。 �。�1）請(qǐng)學(xué)生計(jì)算，并進(jìn)行反饋。 �。�2）反饋側(cè)重：最后一小題引導(dǎo)學(xué)生注意找準(zhǔn)相對(duì)應(yīng)的底和高。教師還可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行補(bǔ)充練習(xí)。 【設(shè)計(jì)意圖】教材本身就提供了多層次的練習(xí)，教師在這里進(jìn)行合理選擇，通過基礎(chǔ)題、變化題練習(xí)，幫助學(xué)生進(jìn)一步明確計(jì)算平行四邊形面積所需要的條件，鞏固所學(xué)的知識(shí)。 （二）拓展提升 一塊平行四邊形木板，底是4 cm ，高是3 cm 。它的面積是多少？ 1．引導(dǎo)學(xué)生算出它的面積； 2．請(qǐng)學(xué)生在方格紙上畫出這樣的平行四邊形； 3．教師：像這樣的平行四邊形你能畫出多少個(gè)？（無數(shù)個(gè)）它們的面積相等嗎？說說你的理由。 4．教師小結(jié)：是的，像這樣的平行四邊形剪拼之后都可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)長4 cm，寬3 cm 的長方形，它們的面積都相等。由此，可以得到等底等高的平行四邊形面積一定相等。 5．思考：面積相等的平行四邊形一定等底等高嗎？為什么？ 【設(shè)計(jì)意圖】從已知條件求面積到根據(jù)條件畫圖形，讓學(xué)生在畫圖反饋的過程中感受到等底等高的平行四邊形面積相等，既提升了所學(xué)知識(shí)，又關(guān)注了學(xué)生的思考，培養(yǎng)學(xué)生的分析歸納能力。 四、總結(jié)提示 教師：回憶一下，今天這節(jié)課有什么收獲？ 總結(jié)：我們用把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的方法推導(dǎo)出了平行四邊形的面積計(jì)算方法，這種轉(zhuǎn)化的思想對(duì)于我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很重要。 【設(shè)計(jì)意圖】在本節(jié)課的最后，教師通過回憶幫學(xué)生把本節(jié)課得到的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中也利用轉(zhuǎn)化的思想對(duì)圖形的面積進(jìn)行自主探索。 《平行四邊形的初步認(rèn)識(shí)》第1課時(shí)教案分析 備課時(shí)間：20xx年9月5日 上課時(shí)間： 年 月 日 教學(xué)內(nèi)容：教材第12～16頁例1和“想想做做”第1～5題。 教學(xué)目標(biāo)： 1、使學(xué)生通過觀察、比較、分類，認(rèn)識(shí)四邊形、五邊形、六邊形等平面圖形，能判斷一個(gè)由線段圍成的圖形是幾邊形，能按要求圍出或剪出多邊形。 2、使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際中抽象出圖形，以及觀察、實(shí)踐操作等數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)一步感受分類的思想，積累學(xué)習(xí)平面圖形的`初步經(jīng)驗(yàn)；體會(huì)不同圖形邊數(shù)的特點(diǎn)，發(fā)展相應(yīng)的空間觀念。 3、使學(xué)生逐步形成參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的意識(shí)，培養(yǎng)獨(dú)立思考、主動(dòng)交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣。 教學(xué)重點(diǎn)： 認(rèn)識(shí)四邊形、五邊形、六邊形等平面圖形。 教學(xué)難點(diǎn)： 能根據(jù)要求把一個(gè)多邊形分成不同的圖形或者是數(shù)圖形的個(gè)數(shù)。 教具或?qū)W具準(zhǔn)備： 師生每人準(zhǔn)備小棒若干根，釘子板1個(gè)，四邊形紙片2張，正方形紙片1張，剪刀1把。 教學(xué)過程： 一、初步感知 1．回顧已知圖形。 今天，老師帶大家到有趣的“圖形王國”去游一游、看一看。（出示如下圖形）請(qǐng)看，這里有一些我們學(xué)過的圖形。你能說出它們的名稱嗎？ (1)讓學(xué)生明確第(1)題的要求。 出示兩張四邊形紙片，讓學(xué)生想想怎樣剪成兩個(gè)三角形，怎樣剪成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形。 學(xué)生操作剪圖形，教師巡視。 (2)讓學(xué)生明確第(2)題的要求。 出示正方形紙片，要求學(xué)生想想怎樣可以剪下一個(gè)三角形。 學(xué)生操作剪下一個(gè)三角形。 展示交流：你是怎樣剪的？剩下的部分是什么圖形？ 6、做“想想做做”第5題。 讓學(xué)生找一找、數(shù)一數(shù)，能找到幾個(gè)就找?guī)讉�(gè)；然后交流自己找到了幾個(gè)四邊形。 四、總結(jié)評(píng)價(jià) 交流：今天我們又去了圖形王國，你有哪些新收獲？你是怎樣學(xué)習(xí)這些知識(shí)的？ 五、布置作業(yè) 《補(bǔ)充習(xí)題》第 頁。 板書設(shè)計(jì)： 課后筆記： 教材分析 本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)掌握平行四邊形的特征，理解并能正確運(yùn)用長方形面積計(jì)算公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，在本節(jié)課中學(xué)生要經(jīng)歷平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，理解平行四邊形的面積計(jì)算公式，為今后學(xué)習(xí)三角形、梯形等平面圖形面積計(jì)算公式奠定基礎(chǔ)。 教材首先以比較花壇大小的情境引入，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活的課程理念；通過數(shù)格法，比較平行四邊形和長方形的面積大小，再通過割補(bǔ)法，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成與它面積相等的長方形，從而滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。 教學(xué)目標(biāo) 1．探索平行四邊形的面積公式，掌握并能正確運(yùn)用公式解決實(shí)際問題。 2．通過操作、觀察、比較，培養(yǎng)學(xué)生分析、抽象概括能力，滲透轉(zhuǎn)化思想。 3．在探索的過程中獲得成功的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 根據(jù)目標(biāo)的定位，我將“掌握平行四邊形的面積計(jì)算公式”作為本節(jié)課的重點(diǎn)，而本課要突破的難點(diǎn)是“經(jīng)歷平行四邊形面積公式的探究過程” 教學(xué)方法 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了重視學(xué)生學(xué)習(xí)過程的全新理念。在本節(jié)課中我主要以引導(dǎo)探究法為主，以學(xué)生參與活動(dòng)為主線，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想、通過數(shù)格子和剪拼驗(yàn)證、觀察比較，使小組教學(xué)和班級(jí)教學(xué)緊密聯(lián)系，并通過自主探索、合作交流發(fā)展能力。 教學(xué)過程 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新知 二、動(dòng)手實(shí)踐、探索新知 三、嘗試練習(xí)，提升能力 四、課堂小結(jié)，梳理提高 以爭論面積大小的故事情境引入，引出要比較大小就得先算面積。回顧了長方形面積計(jì)算公式=長×寬，并通過回憶長方形 �。ㄒ唬┨岢霾孪� 【提問】平行四邊形的`面積可能等于什么？ 受長方形面積公式的遷移學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)兩種答案：①底×高 ②底×斜邊（學(xué)生爭論） �。ǘ﹦�(dòng)手驗(yàn)證 （課前準(zhǔn)備好剪刀、方格紙、尺子、兩個(gè)圖形紙的學(xué)具，放在信封里。）請(qǐng)大家拿出信封，小組合作，驗(yàn)證你的猜想。教師巡視并扮演好合作者的角色，給予適當(dāng)?shù)刂笇?dǎo)。 1．多數(shù)學(xué)生會(huì)選用數(shù)格法，得到兩個(gè)圖形面積相等。 【追問】如果讓你測量花壇的面積，你也用數(shù)格法嗎？ 【詢問】我們能不能把平行四邊形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的圖形，再計(jì)算它的面積呢？ 再次驗(yàn)證，并提出活動(dòng)要求 �。�1） 你把平行四邊形轉(zhuǎn)化成什么圖形？ �。�2） 什么變了，什么沒變？ �。�3） 平行四邊形的面積怎么算？ 2．交流反饋（一個(gè)演示，一個(gè)講解） 【提問】看懂這種方法嗎？有誰的和他不同？ �。ㄈ﹦�(dòng)眼觀察 【提問】這兩種方法有什么共同之處？ 學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，都是沿著高剪的，因?yàn)橹挥羞@樣才會(huì)有直角，而且都拼成了長方形。 【追問】什么變了，什么沒變？ 學(xué)生發(fā)現(xiàn)，形狀變了，面積沒有變。因?yàn)槠叫兴倪呅蔚牡拙拖喈?dāng)于長方形的長，平行四邊形的高就相當(dāng)于長方形的寬，根據(jù)長方形的面積等于長乘寬，所以得到平行四邊形的面積等于底乘高。 （小組內(nèi)、同桌間說一說變化的過程，加深對(duì)公式的理解） （四）自學(xué)課本 引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)課本，用字母表示公式。 S=ah(用S表示平行四邊形的面積，用a表示平行四邊形的底，h表示平行四邊形的高) 【追問】要求平行四邊形的面積，必須知道什么？ �。ㄒ唬┗炯寄苡�(xùn)練 �。�1） 計(jì)算平行四邊形的面積 �。�2） 藍(lán)色線這條高的長度 （二）解決實(shí)際問題 快樂公園由三個(gè)高都是16m的平行四邊形組成，其中中間是一條長河，兩邊種植花草樹木。（如下圖） �。ㄈ┨嵘季S能力 1．在方格紙上畫一個(gè)面積是24平方厘米的平行四邊形 2．如果這個(gè)平行四邊形的底是4厘米，那么能畫出幾種？ 這節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么，有哪些收獲？ 教材是以比較花壇大小的情境導(dǎo)入，但我認(rèn)為這一情境不是很貼切學(xué)生的認(rèn)知，教師在尊重教材的同時(shí)但又不能拘泥于教材，因此我對(duì)教材進(jìn)行創(chuàng)造性地改編。 感受數(shù)格法不受用，從而激發(fā)起探究欲望。 本環(huán)節(jié)以“大膽猜想—?jiǎng)邮植僮鳌獎(jiǎng)友塾^察—?jiǎng)幽X思考”為主線，引導(dǎo)學(xué)生帶著猜想自主探究，讓不同起點(diǎn)的學(xué)生都能經(jīng)歷平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展探索的能力，使學(xué)生在做數(shù)學(xué)的過程中感悟數(shù)學(xué)。 打破學(xué)生思維定勢(shì)，感受高和底的對(duì)應(yīng)。 發(fā)散學(xué)生思維，同時(shí)滲透變與不變的辯證唯物思想，感受同底等高。 通過對(duì)全課進(jìn)行總結(jié)，幫助學(xué)生梳理知識(shí)，形成知識(shí)體系，并幫助學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)方法進(jìn)行小結(jié)。 教學(xué)目標(biāo)： 1、認(rèn)識(shí)平行四邊形和梯形，探索平行四邊形和梯形的特征及平行四邊形的易變特征； 2、在實(shí)際操作、想象驗(yàn)證中培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力； 3、了解平行四邊形、梯形、長方形、正方形之間關(guān)系，滲透事物間是互相聯(lián)系著的辯證唯物主義觀點(diǎn)。 教學(xué)重點(diǎn)：理解平行四邊形與梯形的特征。 教學(xué)難點(diǎn)：四邊形內(nèi)各種圖形間的關(guān)系。 課前準(zhǔn)備：自制課件1個(gè)、平行線膠片。 板書設(shè)計(jì)： 平行四邊形梯形 兩組對(duì)邊分別平行只有一組對(duì)邊平行 教學(xué)過程: 一、準(zhǔn)備 師:前面我們學(xué)習(xí)了平行線,現(xiàn)在同學(xué)們動(dòng)手在投影片上畫一組平行線，好嗎？ 提醒：線可以畫得長一點(diǎn)，流暢一些！ 二、操作、反思 1.操作（一） �。�1）想象。 師：老師課前也畫了一組平行線。如果把兩組平行線相交，圍成的會(huì)是一個(gè)怎樣的圖形，大家能先來想象一下嗎？把你想到的圖形畫在紙上。 [學(xué)生作圖，教師有意識(shí)的巡視學(xué)生的作品] （2）交流。我們來交流一下，可以嗎？ 要求學(xué)生介紹一下圖形的明顯特征。 �。�3）驗(yàn)證。 師：那么兩組平行線相交，真能搭成這些圖形嗎？我們來驗(yàn)證一下，同桌合作，動(dòng)手搭一搭，看看能不能成功？ 2、操作（二） �。�1）想象。 師：接下來我們換換材料，好嗎？還是兩組線，一組仍是平行線，另一組是不平行的線，它們相交，圍成的.又會(huì)是什么圖形呢？你能來畫畫嗎？ （學(xué)生想象作圖） �。�2）交流。 教師選擇學(xué)生所作[看看能不能找到一個(gè)類似的作代表]，同時(shí)出示與之對(duì)應(yīng)的彩色圖形，貼在磁板上。 …… （3）驗(yàn)證。 師：又有了各種各樣的。我們請(qǐng)個(gè)同學(xué)上來搭一搭，幫我們驗(yàn)證一下！ 三、展開： 1、分類 （1）師：全面欣賞一下我們的成果。這么多圖形，大家它們有沒有相同的地方或不同的地方？ （2）我們四人為一組，一起來找一找，看看哪個(gè)組發(fā)現(xiàn)得最多！ �、伲ǘ加兴臈l邊，四個(gè)角，都是四邊形，至少有一組對(duì)邊平行）板書：四邊形 �、谟兄苯呛蜎]直角的； �、塾行┦怯蓛山M平行線搭成的，有些是由一組平行線和一組不平行的線搭成的！能聽明白嗎？誰來給們解釋一下！ �。�3）根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，誰能上來把這些圖形分分類。 2、取名，進(jìn)一步了解特征 �。�1）師：（手指分類后平行四邊形一列）這些四邊形有什么特點(diǎn)？還有誰想說？（板書：兩組對(duì)邊分別平行） �。�2）誰能給這類圖形取一個(gè)符合它特點(diǎn)名字嗎？ （板書：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形） �。�3）師：（手指另一列）它們能叫平行四邊形嗎？為什么？ 師：這種特點(diǎn)的四邊形，我們?cè)摻兴裁茨兀?/p> 3、生活應(yīng)用 �。�1）師：為什么有同學(xué)要稱它們?yōu)樘菪文兀?/p> �。�2）生活中你還在哪些東西上看到過平行四邊形和梯形？ 學(xué)生舉例后，教師投影相應(yīng)的圖片：比較美觀、上窄下寬，非常穩(wěn)定 （3）出示實(shí)物圖：這是校園的鐵柵門。我們從上面能找到[平行四邊形]，用這樣的形狀制造，有什么好處嗎？老師這里有幾個(gè)木架，我們來玩一玩，看能不能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)什么？ 校園鐵柵欄材料招標(biāo)工作現(xiàn)在開始：各路圖形，爭先恐后，爭相競標(biāo)。其中三角形和平行四邊形的爭奪尤其激烈。如果你是總務(wù)主任，會(huì)選擇哪種材料呢？為什么？ 4、兩組練習(xí)。下面我們做幾個(gè)練習(xí)來鞏固一下： �。�1）下圖中哪些是平行四邊形，哪些是梯形？同學(xué)們有沒有問題？ �。�2）我們?cè)?jīng)學(xué)過正方形是特殊的長方形。它們的關(guān)系可以這樣表示！ 那么正方形、長方形和平行四邊形這種特殊的關(guān)系又該怎么表示呢？ 可以用文字表達(dá)的！如果我們畫圖呢？ 四邊形 梯形 平行四邊形 長方形 正方形 （3）判斷下面的說法對(duì)嗎？ l一組對(duì)邊平行的四邊形，叫做梯形； l有兩組對(duì)邊平行的圖形，都叫平行四邊形； 5、拓展：了解圖形轉(zhuǎn)換的內(nèi)在聯(lián)系[機(jī)動(dòng)] 師：讓我們一起來做個(gè)數(shù)學(xué)游戲，進(jìn)一步了解圖形間的關(guān)系。 �。�1）你能用撕一撕、拼一拼的方法把一個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)大小相等的長方形嗎？ �。�2）用撕一撕的方法，你能把一個(gè)平行四邊形撕成兩個(gè)完全相等的圖形嗎？ …… 投影學(xué)生的各種圖形： 小結(jié)：圖形確實(shí)可以千變?nèi)f化，再進(jìn)一步深入研究我們能夠發(fā)現(xiàn)它們之間還有著十分豐富的聯(lián)系，有興趣的話同學(xué)們可以在課后繼續(xù)研究。 教學(xué)內(nèi)容： 教科書數(shù)學(xué)第八冊(cè)第22～26頁 教學(xué)目標(biāo)： 1．通過觀察操作認(rèn)識(shí)平行四邊形的特征，使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握平行四邊形的面積計(jì)算公式，能正確地計(jì)算平行四邊形的面積。 2．經(jīng)歷探索平行四邊形面積計(jì)算公式的過程，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化的思考方法在研究平行四邊形面積時(shí)的運(yùn)用。 3．培養(yǎng)觀察、比較、推理和概括能力，滲透轉(zhuǎn)化思想的空間觀念。 教學(xué)重難點(diǎn)： 探索平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程。 教具準(zhǔn)備： 1．課件 2．教師準(zhǔn)備一個(gè)平行四邊形的紙片。 3．學(xué)生準(zhǔn)備好學(xué)具 教學(xué)過程： 活動(dòng)一：認(rèn)識(shí)平行四邊形的特征。 信息窗1，學(xué)生觀察。 師：你發(fā)現(xiàn)了什么信息？你想提一個(gè)什么數(shù)學(xué)問題？學(xué)生以小組為單位討論。 �。ㄉ涣饔懻摰那闆r） 平行四邊形的特征：對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等。 師：什么叫平行四邊形？（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。） 師：先領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)平行四邊形的底和高。再讓學(xué)生指出平行四邊形的底，指出它的高來。然后讓每個(gè)學(xué)生在自己準(zhǔn)備的平行四邊形上畫高。（教師巡視，注意畫得是否正確。） 活動(dòng)二：學(xué)習(xí)平行四邊形面積的計(jì)算公式。 師：解決1號(hào)蝦池的面積是多少。 我們已經(jīng)知道1號(hào)蝦池的形狀是平行四邊形的，要求1號(hào)蝦池的面積，就是求平行四邊形的面積，那么怎樣求平行四邊形的面積？請(qǐng)大家猜測一下。 學(xué)生活動(dòng)：用手中的學(xué)具操作一下。 師：現(xiàn)在交流你們想出的方法。 師：同學(xué)們有各自的猜想，到底誰的對(duì)呢？用什么辦法來驗(yàn)證。 師：哪個(gè)小組來匯報(bào)一下你們是怎樣來驗(yàn)證的 ，你們的結(jié)論是什么？ 提問：它們的面積怎么樣？平行四邊形的底和長方形的長怎么樣？平行四邊形的高和長方形的寬呢？ 啟發(fā)學(xué)生把比較的結(jié)果重復(fù)說一遍。平行四邊形的底和長方形的長，平行四邊形的高和長方形的寬分別相等，它們的面積也相等。 通過操作總結(jié)平行四邊形面積的計(jì)算公式。 �。�1）從上面的比較中，你發(fā)現(xiàn)平行四邊形的底、高和面積與長方形的.長、寬和面積之間有什么聯(lián)系？你能不能把一個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)長方形呢？想一想，該怎么做？讓學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的平行四邊形進(jìn)行剪拼。（學(xué)生剪拼時(shí)，教師巡視。）然后指名到前邊演示。 （2）教師示范平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的過程。 剛才發(fā)現(xiàn)同學(xué)們把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形時(shí)，就把從平行四邊形左邊剪下的直角三角形直接放在剩下的梯形的右邊，拼成長方形。在變換圖形的位置時(shí)，怎樣按照一定的規(guī)律做呢？現(xiàn)在看老師在演示。 教師歸納整理：任意一個(gè)平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)長方形，它的面積和原來的平行四邊形的面積相等，它的長、寬分別和原來的平行四邊形的底、高相等。 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)平行四邊形面積計(jì)算公式。 這個(gè)長方形的面積怎么求？（指名回答后，在長方形右面板書：長方形的面積＝長寬） 那么，平行四邊形的面積怎么求？（指名回答后，在平行四邊形右面板書：平行四邊形的面積＝底高。） 教學(xué)用字母表示平行四邊形的面積公式。 板書：S＝ah， S＝ah，或者S＝ah。 應(yīng)用總結(jié)出的面積公式計(jì)算平行四邊形的面積。 師：現(xiàn)在來求：1號(hào)蝦池的面積是多少？ 學(xué)生列式：90X60=5400（平方米） 活動(dòng)三： 解決2號(hào)蝦池能放養(yǎng)多少尾蝦苗？ 交流答案，交流解題思路。 活動(dòng)四：鞏固練習(xí) 自主練習(xí)的1、2、5 活動(dòng)五： 課堂小結(jié)： 這節(jié)課我們共同研究了什么？ 怎樣求平行四邊形的面積？ 平行四邊形的面積計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)出來的？ 教學(xué)目標(biāo)： 1．使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握平行四邊形面積的計(jì)算公式，并會(huì)運(yùn)用公式正確地計(jì)算平行四邊形的面積． 2．通過操作、觀察、比較，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思考方法解決問題的能力和邏輯思維能力． 3．對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯詐唯物主義觀點(diǎn)的啟蒙教育． 教學(xué)重點(diǎn)：理解公式并正確計(jì)算平行四邊形的面積． 教學(xué)難點(diǎn)：理解平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程． 學(xué)具準(zhǔn)備：每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)平行四邊形。 教學(xué)過程： 1、什么是面積？ 2、請(qǐng)同學(xué)翻書到80頁，請(qǐng)觀察這兩個(gè)花壇，哪一個(gè)大呢？假如這塊長方形花壇的長是3米，寬是2米，怎樣計(jì)算它的面積呢？ 二、導(dǎo)入新課 根據(jù)長方形的面積=長×寬（板書），得出長方形花壇的面積是6平方米，平行四邊形面積我們還沒有學(xué)過，所以不能計(jì)算出平行四邊形花壇的面積，這節(jié)課我們就學(xué)習(xí)平行四邊形面積計(jì)算。 三、講授新課 �。ㄒ唬�(shù)方格法 用展示臺(tái)出示方格圖 1、這是什么圖形？（長方形）如果每個(gè)小方格代表1平方厘米，這個(gè)長方形的面積是多少？（18平方厘米） 2、這是什么圖形？（平行四邊形）每一個(gè)方格表示1平方厘米，自己數(shù)一數(shù)是多少平方厘米？ 請(qǐng)同學(xué)認(rèn)真觀察一下，平行四邊形在方格紙上出現(xiàn)了不滿一格的，怎么數(shù)呢？可以都按半格計(jì)算。然后指名說出數(shù)得的結(jié)果，并說一說是怎樣數(shù)的。 2、請(qǐng)同學(xué)看方格圖填80頁最下方的表，填完后請(qǐng)學(xué)生回答發(fā)現(xiàn)了什么？ �。喝绻L方形的長和寬分別等于平行四邊形的底和高，則它們的面積相等。 �。ǘ┮敫钛a(bǔ)法 以后我們遇到平行四邊形的地、平行四邊形的零件等等平行四邊形的東西，都像這樣數(shù)方格的方法來計(jì)算平行四邊形的面積方不方便？那么我們就要找到一種方便、又有規(guī)律的計(jì)算平行四邊形面積的方法。 （三）割補(bǔ)法 1、這是一個(gè)平行四邊形，請(qǐng)同學(xué)們把自己準(zhǔn)備的平行四邊形沿著所作的高剪下來，自己拼一下，看可以拼成我們以前學(xué)過的什么圖形？ 2、然后指名到前邊演示。 3、教師示范平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的過程。 剛才發(fā)現(xiàn)同學(xué)們把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形時(shí)，就把從平行四邊形左邊剪下的直角三角形直接放在剩下的梯形的右邊，拼成長方形。在變換圖形的位置時(shí)，怎樣按照一定的規(guī)律做呢？現(xiàn)在看老師在黑板上演示。 �、傧妊刂叫兴倪呅蔚母呒粝伦筮叺闹苯侨切巍� �、谧笫职醋∈Ｏ碌奶菪蔚挠也浚沂帜弥粝碌闹苯侨切窝刂走吢蛴乙苿�(dòng)。 �、垡苿�(dòng)一段后，左手改按梯形的左部。右手再拿著直角三角形繼續(xù)沿著底邊慢慢向右移動(dòng)，到兩個(gè)斜邊重合為止。 請(qǐng)同學(xué)們把自己剪下來的直角三角形放回原處，再沿著平行四邊形的底邊向右慢慢移動(dòng)，直到兩個(gè)斜邊重合。（教師巡視指導(dǎo)。） 4、觀察（黑板上在剪拼成的長方形左面放一個(gè)原來的平行四邊形，便于比較。） �、龠@個(gè)由平行四邊形轉(zhuǎn)化成的長方形的面積與原來的平行四邊形的面積比較，有沒有變化？為什么？ �、谶@個(gè)長方形的長與平行四邊形的底有什么樣的關(guān)系？ �、圻@個(gè)長方形的寬與平行四邊形的高有什么樣的關(guān)系？ 教師歸納：任意一個(gè)平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)長方形，它的面積和原來的平行四邊形的面積相等，它的'長、寬分別和原來的平行四邊形的底、高相等。 5、引導(dǎo)學(xué)生平行四邊形面積計(jì)算公式。 這個(gè)長方形的面積怎么求？（指名回答后，在長方形右面板書：長方形的面積＝長×寬） 那么，平行四邊形的面積怎么求？（指名回答后，在平行四邊形右面板書：平行四邊形的面積＝底×高。） 6、教學(xué)用字母表示平行四邊形的面積公式。 板書：S＝a×h，告知S和h的讀音。 說明在含有字母的式子里，字母和字母中間的乘號(hào)可以記作“”，寫成ah，也可以省略不寫，所以平行四邊形面積的計(jì)算公式可以寫成S＝ah，或者S＝ah。 （6）完成第81頁中間的“填空”。 7、驗(yàn)證公式 學(xué)生利用所學(xué)的公式計(jì)算出“方格圖中平行四邊形的面積”和用數(shù)方格的方法求出的面積相比較“相等”，加以驗(yàn)證。 條件強(qiáng)化：求平行四邊形的面積必須知道哪兩個(gè)條件？（底和高） �。ㄋ模⿷�(yīng)用 1、學(xué)生自學(xué)例１后，教師根據(jù)學(xué)生提出的問題講解。 3、判斷，并說明理由。 (1)兩個(gè)平行四邊形的高相等，它們的面積就相等() (2)平行四邊形底越長，它的面積就越大() 4、做書上82頁2題。 四、體驗(yàn) 今天，你學(xué)會(huì)了什么？怎樣求平行四邊形的面積?平行四邊形的面積計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)的? 五、作業(yè) 練習(xí)十五第1題。 六、板書設(shè)計(jì) 平行四邊形面積的計(jì)算 長方形的面積＝長×寬 平行四邊形的面積＝底×高 S=a×hS=ah或S=ah 課后反思： 【平行四邊形教案】相關(guān)文章： 平行四邊形教案04-01 平行四邊形的面積教案04-07 特殊的平行四邊形教案07-29 認(rèn)識(shí)平行四邊形教案08-26 平行四邊形的特征教案02-27 平行四邊形面積教案02-09 平行四邊形的面積教案03-28 《平行四邊形的面積》教案06-01平行四邊形教案 篇2
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