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反函數(shù)數(shù)學(xué)教案
作為一位杰出的老師，常常需要準(zhǔn)備教案，教案有利于教學(xué)水平的提高，有助于教研活動的開展。那么優(yōu)秀的教案是什么樣的呢？下面是小編整理的反函數(shù)數(shù)學(xué)教案，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。
反函數(shù)數(shù)學(xué)教案1
教學(xué)目標(biāo)
1.使學(xué)生了解反函數(shù)的概念,初步掌握求反函數(shù)的方法.
2.通過反函數(shù)概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生分析問題,解決問題的能力及抽象概括的能力.
3.通過反函數(shù)的學(xué)習(xí),幫助學(xué)生樹立辨證唯物主義的世界觀.
教學(xué)重點,難點
重點是反函數(shù)概念的形成與認(rèn)識.
難點是掌握求反函數(shù)的方法.
教學(xué)用具
投影儀
教學(xué)方法
自主學(xué)習(xí)與啟發(fā)結(jié)合法
教學(xué)過程
一. 揭示課題
今天我們將學(xué)習(xí)函數(shù)中一個重要的概念----反函數(shù).
1.4. 反函數(shù)(板書)
(一)反函數(shù)的概念(板書)
二.講解新課
教師首先提出這樣一個問題:在函數(shù) 中,如果把 當(dāng)作因變量,把 當(dāng)作自變量,能否構(gòu)成一個函數(shù)呢?(讓學(xué)生思考后回答,要講明理由)可以根據(jù)函數(shù)的定義在 的允許取值范圍內(nèi)的任一值,按照法則 都有唯一的 與之相對應(yīng).(還可以讓學(xué)生畫出函數(shù)的圖象,從形的角度解釋“任一 對唯一 ”)
學(xué)生解釋后教師指出不管從哪個角度,它都是一個函數(shù),即 有反函數(shù),而且把這個函數(shù)稱為 的反函數(shù).那么這個反函數(shù)的解析式是什么呢?
由學(xué)生回答出應(yīng)為 .教師再提出 它作為函數(shù)是沒有問題的,但不太符合我們的表示習(xí)慣,按習(xí)慣用 表示自變量,用 表示因變量,故它又可以改寫成 ,改動之后帶來一個新問題: 和 是同一函數(shù)嗎?
由學(xué)生討論,并說明理由,要求學(xué)生能從函數(shù)三要素的角度去認(rèn)識,并給出解釋,讓學(xué)生真正承認(rèn)它們是同一函數(shù).并把 叫做 的反函數(shù).繼而再提出: 有反函數(shù)嗎？是哪個函數(shù)?
學(xué)生很快會意識到 是 的反函數(shù),教師可再引申為 與 是互為反函數(shù)的.然后利用問題再引申:是不是所有的函數(shù)都有反函數(shù)呢?如果有,請舉出例子.在教師啟發(fā)下學(xué)生可以舉出象 這樣的函數(shù),若將 當(dāng)自變量, 當(dāng)作因變量,在 允許取值范圍內(nèi)一個 可能對兩個 (可畫圖輔助說明,當(dāng) 時,對應(yīng) ),不能構(gòu)成函數(shù),說明此函數(shù)沒有反函數(shù).
通過剛才的例子,了解了什么是反函數(shù),把對 的反函數(shù)的研究過程一般化,概括起來就可以得到反函數(shù)的定義,但這個數(shù)學(xué)的抽象概括,要求比較高,因此我們一起閱讀書上相關(guān)的內(nèi)容.
1. 反函數(shù)的定義:(板書)(用投影儀打出反函數(shù)的定義)
為了幫助學(xué)生理解,還可以把定義中的 換成某個具體簡單的函數(shù)如 解釋每一步驟,如得 ,再判斷它是個函數(shù),最后改寫為 .給出定義后,再對概念作點深入研究.
2.對概念得理解(板書)
教師先提出問題:反函數(shù)的“反”字應(yīng)當(dāng)是相對原來給出的'函數(shù)而言,指的是兩者的關(guān)系你能否從函數(shù)三要素的角度解釋“反”的含義呢?(仍可以 與 為例來說)
學(xué)生很容易先想到對應(yīng)法則是“反”過來的,把 與 的位置換位了,教師再追問它們的互換還會帶來什么變化?啟發(fā)學(xué)生找出另兩個要素之間的關(guān)系.最后得出結(jié)論: 的定義域和值域分別由 的值域和定義域決定的.再把結(jié)論從特殊發(fā)展到一般,概括為:反函數(shù)的三要素是由原來函數(shù)的三要素決定的.給出的函數(shù)確定了,反函數(shù)的三要素就已經(jīng)確定了.簡記為“三定”.
(1)“三定”(板書)
然后要求學(xué)生把剛才的三定具體化,也就是“反”字的具體體現(xiàn).由學(xué)生一一說出反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域,反函數(shù)的值域是原來函數(shù)的定義域,反函數(shù)的對應(yīng)法則就是把原來函數(shù)對應(yīng)法則中 與 的位置互換.(用投影儀打出互換過程)如圖
最后教師進一步明確“反”實際體現(xiàn)為“三反”, “三反”中起決定作用的是 與 的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范圍也帶走了,引起了另外兩“反”.
(2)“三反”(板書)
此時教師可把問題再次引向深入,提出:如果一個函數(shù)存在反函數(shù),應(yīng)怎樣求這個反函數(shù)呢?下面我給出兩個函數(shù),請同學(xué)們根據(jù)自己對概念的理解來求一下它們的反函數(shù).
例1. 求 的反函數(shù).(板書)
(由學(xué)生說求解過程,有錯或不規(guī)范之處,暫時不追究,待例2解完之后再一起講評)
解:由 得 , 所求反函數(shù)為 .(板書)
例2. 求 , 的反函數(shù).(板書)
解:由 得 ,又 得 ,
故所求反函數(shù)為 .(板書)
求完后教師請同學(xué)們作評價,學(xué)生之間可以討論,充分暴露表述中得問題,讓學(xué)生自行發(fā)現(xiàn),自行解決.最后找代表發(fā)表意見,指出例2中問題,結(jié)果應(yīng)為 , .
教師可先明知故問 ,與 , 有什么不同?讓學(xué)生明確指出兩個函數(shù)定義域分別是 和 ,所以它們是不同的函數(shù).再追問 從何而來呢?讓學(xué)生能從三定和三反中找出理由,是從原來函數(shù)的值域而來.
在此基礎(chǔ)上,教師最后明確要求,由于反函數(shù)的定義域必是原來函數(shù)的值域,而不是從自身解析式出發(fā)尋求滿足的條件,所以求反函數(shù),就必須先求出原來函數(shù)的值域.之后由學(xué)生調(diào)整剛才的求解過程.
解: 由 得 ,又 得 ,
又 的值域是 ,
故所求反函數(shù)為 , .
(可能有的學(xué)生會提出例1中為什么不求原來函數(shù)的值域的問題,此時不妨讓學(xué)生去具體算一算,會發(fā)現(xiàn)原來函數(shù)的值域域求出的函數(shù)解析式中所求定義域時一致的,所以使得最后結(jié)果沒有出錯.但教師必須指出結(jié)論得一致性只是偶然,而不是必然,因此為規(guī)范求解過程要求大家一定先求原來函數(shù)的值域,并且在最后所求結(jié)果上注明反函數(shù)的定義域,同時讓學(xué)生調(diào)整例的表述,將過程補充完整)
最后讓學(xué)生一起概括求反函數(shù)的步驟.
3.求反函數(shù)的步驟(板書)
(1) 反解:
(2) 互換
(3) 改寫:
對以上環(huán)節(jié)教師可稍作解釋,然后提出再通過下面的練習(xí)來檢驗是否真正理解了.
三.鞏固練習(xí)
練習(xí):求下列函數(shù)的反函數(shù).
(1) (2) .(由兩名學(xué)生上黑板寫)
解答過程略.
教師可針對學(xué)生解答中出現(xiàn)的問題,進行講評.(如正負(fù)的選取,值域的計算,符號的使用)
四.小結(jié)
1. 對反函數(shù)概念的認(rèn)識:
2. 求反函數(shù)的基本步驟:
五.作業(yè)
課本第68頁習(xí)題2.4第1題中4,6,8,第2題.
六.板書設(shè)計
2.4反函數(shù) 例1. 練習(xí).
一. 反函數(shù)的概念 (1) (2)
1. 定義
2. 對概念的理解 例2.
(1) 三定(2)三反
3. 求反函數(shù)的步驟
(1)反解(2)互換(3)改寫
反函數(shù)數(shù)學(xué)教案2
教學(xué)目標(biāo)
1.使學(xué)生了解反函數(shù)的概念；
2.使學(xué)生會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)；
3.培養(yǎng)學(xué)生用辯證的觀點觀察、分析解決問題的能力。
教學(xué)重點
1.反函數(shù)的概念；
2.反函數(shù)的求法。
教學(xué)難點
反函數(shù)的概念。
教學(xué)方法
師生共同討論
教具裝備
幻燈片2張
第一張：反函數(shù)的定義、記法、習(xí)慣記法。（記作A）；
第二張：本課時作業(yè)中的預(yù)習(xí)內(nèi)容及提綱。
教學(xué)過程
�。↖）講授新課
（檢查預(yù)習(xí)情況）
師：這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)反函數(shù)（板書課題）§2.4.1 反函數(shù)的概念。
同學(xué)們已經(jīng)進行了預(yù)習(xí)，對反函數(shù)的概念有了初步的了解，誰來復(fù)述一下反函數(shù)的定義、記法、習(xí)慣記法？
生：（略）
�。▽W(xué)生回答之后，打出幻燈片A）。
師：反函數(shù)的定義著重強調(diào)兩點：
（1）根據(jù)y= f(x)中x與y的關(guān)系，用y把x表示出來，得到x= φ（y）；
（2）對于y在c中的任一個值，通過x= φ（y），x在A中都有惟一的值和它對應(yīng)。
師：應(yīng)該注意習(xí)慣記法是由記法改寫過來的。
師：由反函數(shù)的定義，同學(xué)們考慮一下，怎樣的映射確定的函數(shù)才有反函數(shù)呢？
生：一一映射確定的函數(shù)才有反函數(shù)。
（學(xué)生作答后，教師板書，若學(xué)生答不來，教師再予以必要的啟示）。
師：在y= f(x)中與y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x與后者中的x都屬于同一個集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自變量，y是函數(shù)值；后者y是自變量，x是函數(shù)值。）
在y= f(x)中與y= f –1(x)中的x都是自變量，y都是函數(shù)值，即x、y在兩式中所處的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。）
由此，請同學(xué)們談一下，函數(shù)y= f(x)與它的反函數(shù)y= f –1(x)兩者之間，定義域、值域存在什么關(guān)系呢？
生：（學(xué)生作答，教師板書）函數(shù)的定義域，值域分別是它的反函數(shù)的值域、定義域。
師：從反函數(shù)的`概念可知：函數(shù)y= f (x)與y= f –1(x)互為反函數(shù)。
從反函數(shù)的概念我們還可以知道，求函數(shù)的反函數(shù)的方法步驟為：
（1）由y= f (x)解出x= f –1(y)，即把x用y表示出；
（2）將x= f –1(y)改寫成y= f –1(x)，即對調(diào)x= f –1(y)中的x、y。
�。�3）指出反函數(shù)的定義域。
下面請同學(xué)自看例1
�。↖I）課堂練習(xí) 課本P68練習(xí)1、2、3、4。
�。↖II）課時小結(jié)
本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反函數(shù)的概念，從中知道了怎樣的映射確定的函數(shù)才有反函數(shù)并求函數(shù)的反函數(shù)的方法步驟，大家要熟練掌握。
�。↖V）課后作業(yè)
一、課本P69習(xí)題2.4 1、2。
二、預(yù)習(xí)：互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系，親自動手作題中要求作的圖象。
板書設(shè)計
課題： 求反函數(shù)的方法步驟：
定義：（幻燈片）
注意： 小結(jié)
一一映射確定的
函數(shù)才有反函數(shù)
函數(shù)與它的反函
數(shù)定義域、值域的關(guān)系
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