方程的根與函數(shù)的零點教案

時間：2024-06-28 14:15:52 教案

方程的根與函數(shù)的零點教案

　　作為一名優(yōu)秀的教育工作者，就不得不需要編寫教案，借助教案可以有效提升自己的教學能力。教案要怎么寫呢？下面是小編為大家整理的方程的根與函數(shù)的零點教案，希望對大家有所幫助。

方程的根與函數(shù)的零點教案

方程的根與函數(shù)的零點教案1

　　教學目標：

　　1、能夠結(jié)合二次函數(shù)的圖像判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)。

　　2、理解函數(shù)的零點與方程的聯(lián)系。

　　3、滲透由特殊到一般的認識規(guī)律，提升學生的抽象和概括能力。

　　教學重點、難點：

　　1、重點：理解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，使學生遇到一元二次方程根的問題時能順利聯(lián)想函數(shù)的思想和方法。

　　2、難點：函數(shù)零點存在的條件。

　　教學過程：

　　1、問題引入

　　探究一元二次方程與相應(yīng)二次函數(shù)的關(guān)系。

　　出示表格，引導(dǎo)學生填寫表格，并分析填出的表格，從二次方程的根和二次函數(shù)的圖像與x軸的交點的坐標，探究一元二次方程與相應(yīng)二次函數(shù)的關(guān)系。

　　一元二次方程

　　方程的根

　　二次函數(shù)

　　圖像與X軸的交點

　　x2-2x-3=0

　　x1=-1，x2=3

　　y=x2-2x-3

　�。�-1，0），（3，0）

　　x2-2x+1=0

　　x1=x2=1

　　y=x2-2x+1

　　（1，0）

　　x2-2x+3=0

　　無實數(shù)根

　　y=x2-2x+3

　　無交點

　　（圖1-1）函數(shù)y=x2-2x-3的圖像

　�。▓D1-2）函數(shù)y=x2-2x+1的圖像

　�。▓D1-3）函數(shù)y=x2-2x+3的圖像

　　歸納：

　　（1）如果一元二次方程沒有實數(shù)根，相應(yīng)的二次函數(shù)圖像與x軸沒有交點；

　�。�2）如果一元二次方程有實數(shù)根，相應(yīng)的二次函數(shù)圖像與x軸有交點。

　　反之，二次函數(shù)圖像與x軸沒有交點，相應(yīng)的`一元二次方程沒有實數(shù)根；

　　二次函數(shù)圖像與x軸有交點，則交點的橫坐標就是相應(yīng)一元二次方程的實數(shù)根。

　　2、函數(shù)的零點

　�。�1）概念

　　對于函數(shù)y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點。

　�。�2）意義

　　方程f(x)=0有實數(shù)根

　　函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點

　　函數(shù)y=f(x)有零點

　�。�3）求函數(shù)的零點

　　①代數(shù)法：求方程f(x)=0的實數(shù)根

　�、趲缀畏ǎ簩τ诓荒苡们蟾降姆匠蹋梢詫⑺c函數(shù)y=f(x)的圖像聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。

　　3、函數(shù)零點的存在性

　�。�1）二次函數(shù)的零點

　　△=b2-4ac

　　ax2+bx+c=0的實數(shù)根

　　y=ax2+bx+c的零點數(shù)

　　△﹥0

　　有兩個不等的實數(shù)根x1、x2

　　兩個零點x1、x2

　　△=0

　　有兩個相等的實數(shù)根x1=x2

　　一個零點x1（或x2）

　　△﹤0

　　沒有實數(shù)根

　　沒有零點

　�。▓D2-1）方程ax2+bx+c=0的判別式△﹥0時，函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像

　�。▓D2-2）方程ax2+bx+c=0的判別式△=0時，函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像

　　（圖2-3）方程ax2+bx+c=0的判別式△﹤0時，函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像

　�。�2）探究發(fā)現(xiàn)

　　問題1：二次函數(shù)y=x2-2x-3在區(qū)間[-2，1]上有零點。試計算f(-2)與f(1)的乘積有什么特點？

　　解：f(-2)=(-2)2-2*(-2)-3=4+4-3=5

　　f(1)=12-2*1-3=1-2-3=-4

　　f(2)*f(1)=-4*5=-20﹤0

　　問題2：在區(qū)間[2,4]呢？

　　解：f(2)=(2)2-2*2-3=-3

　　f(4)=42-2*4-3=5

　　f(4)*f(2)=(-3)*5=-15﹤0

　　歸納：

　　f(2)*f(1)﹤0，函數(shù)y=x2-2x-3在[-2，1]內(nèi)有零點x=-1；f(2)*f(4)﹤0，函數(shù)y=x2-2x-3在[2，4]內(nèi)有零點x=3，它們分別是方程y=x2-2x-3的兩個根。

　　結(jié)論：

　　如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個也就是方程的根。

　�、賵D像在上的圖像是連續(xù)不斷的

　�、�

　�、酆瘮�(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點

　　4、習題演練

　　利用函數(shù)圖像判斷下列二次函數(shù)有幾個零點

　　①y=－x2＋3x＋5，②y=2x(x－2)+3

　　解：①令f(x)=－x2＋3x＋5,

　　做出函數(shù)f(x)的圖像，如下

　�。▓D4-1）

　　它與x軸有兩個交點，所以方程－x2＋3x＋5＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則函數(shù)y=－x2＋3x＋5有兩個零點。

　�、趛=2x(x－2)+3可化為

　　做出函數(shù)f(x)的圖像,如下：

　�。▓D4-2）

　　它與x軸沒有交點，所以方程2x(x－2)＝－3無實數(shù)根，則函數(shù)y=2x(x－2)+3沒有零點。

方程的根與函數(shù)的零點教案2

　　一、教學內(nèi)容解析

　　本節(jié)課的主要內(nèi)容有函數(shù)零點的的概念、函數(shù)零點存在性判定定理。

　　函數(shù)f(x)的零點,是中學數(shù)學的一個重要概念,從函數(shù)值與自變量對應(yīng)的角度看,就是使函數(shù)值為0的實數(shù)x;從方程的角度看,即為相應(yīng)方程f(x)=0的實數(shù)根，從函數(shù)的圖形表示看,函數(shù)的零點就是函數(shù)f(x)與x軸交點的橫坐標.函數(shù)是中學數(shù)學的核心概念，核心的根本原因之一在于函數(shù)與其他知識具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點就是其中的一個鏈結(jié)點,它從不同的角度,將數(shù)與形,函數(shù)與方程有機的聯(lián)系在一起。

　　函數(shù)零點的存在性判定定理，其目的就是通過找函數(shù)的零點來研究方程的根，進一步突出函數(shù)思想的應(yīng)用，也為二分法求方程的近似解作好知識上和思想上的準備。定理不需證明，關(guān)鍵在于讓學生通過感知體驗并加以確認，由些需要結(jié)合具體的實例，加強對定理進行全面的認識，比如定理應(yīng)用的局限性，即定理的前提是函數(shù)的圖象必須是連續(xù)的，定理只能判定函數(shù)的“變號”零點;定理結(jié)論中零點存在但不一定唯一，需要結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)作進一步的判斷。

　　對函數(shù)與方程的關(guān)系有一個逐步認識的過程，教材遵循了由淺入深、循序漸進的原則.從學生認為較簡單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系，然后將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形。

　　函數(shù)與方程相比較,一個“動”，一個“靜”;一個“整體”，一個“局部”。用函數(shù)的觀點研究方程，本質(zhì)上就是將局部的問題放在整體中研究，將靜態(tài)的結(jié)果放在動態(tài)的過程中研究，這為今后進一步學習函數(shù)與不等式等其它知識的聯(lián)系奠定了堅實的基礎(chǔ)。

　　本節(jié)是函數(shù)應(yīng)用的第一課，因此教學時應(yīng)當站在函數(shù)應(yīng)用的高度，從函數(shù)與其他知識的聯(lián)系的角度來引入較為適宜。

　　二、教學目標解析

　　1.結(jié)合具體的問題，并從特殊推廣到一般，使學生領(lǐng)會函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系。

　　2.結(jié)合函數(shù)圖象，通過觀察分析特殊函數(shù)的零點存在的特點，通過問題，理解連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法，并能由此方法判定函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點。了解定理應(yīng)用的前提條件，應(yīng)用的局限性，及定理的準確結(jié)論。

　　3.通過具體實例，學生能結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)進一步判斷函數(shù)零點的個數(shù)。

　　4.在學習過程中，體驗函數(shù)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想。

　　三、教學問題診斷分析

　　1.通過前面的學習，學生已經(jīng)了解一些基本初等函數(shù)的模型，掌握了函數(shù)圖象的一般畫法，及一定的.看圖識圖能力,這為本節(jié)課利用函數(shù)圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎(chǔ)。對于函數(shù)零點的概念本質(zhì)的理解，學生缺乏的是函數(shù)的觀點，或是函數(shù)應(yīng)用的意識，造成對函數(shù)與方程之間的聯(lián)系缺乏了解。由此作為函數(shù)應(yīng)用的第一課時，有必要點明函數(shù)的核心地位，即說明函數(shù)與其他知識的聯(lián)系及其在生活中的應(yīng)用，初步樹立起函數(shù)應(yīng)用的意識。并從此出發(fā)，通過問題的設(shè)置，引導(dǎo)學生思考，再通過實例的確認與體驗，從直觀到抽象，從特殊到一般的學習方式，捅破學生認識上的這層“窗戶紙”。

　　2.對于零點存在的判定定理，教材不要求給予其證明，這需要教師提供一定量的具體案例讓學生操作感知，同時鼓勵學生舉例來驗證，最終能自主地獲得并確認該定理的結(jié)論。對于定理的條件和結(jié)論，學生往往考慮不夠深入，需要教師通過具體的問題，引導(dǎo)學生從正面、反面、側(cè)面等不同的角度重新進行審視。

　　3.函數(shù)的零點，體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的密切聯(lián)系，教學中應(yīng)遵循高中數(shù)學以函數(shù)為主線的這一原則進行聯(lián)結(jié)，側(cè)重在從函數(shù)的角度看方程，同時為二分法求方程的近似解作知識和思想上的準備。

　　四、教學過程設(shè)計

　　(一)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

　　函數(shù)是中學數(shù)學的核心內(nèi)容，它不僅在生活中有著大量的應(yīng)用，與其他數(shù)學知識有著千絲萬縷的聯(lián)系，若能抓住這一聯(lián)系，你就擁有了一把解決問題的金鑰匙。

　　案例1：周長為定值的矩形

　　不妨取l=12

　　問題1：求其面積的值：

　　顯然面積是一個關(guān)于x的一個二次多項式

　　，用幾何畫板演示矩形的變化：

　　問題2：求矩形面積的最大值?

　　當x取不同值時，代數(shù)式的值也相應(yīng)隨之變化，你能從函數(shù)的角度審視其中的關(guān)系嗎?

　　問題3：能否使得矩形的面積為8?你是如何分析的?

　　(1)實驗演示的角度進行估計，拖動時難以恰好出現(xiàn)面積為8的情況;

　　(2)解方程：x(6-x)=8

　　(3)方程x(6-x)=8能否從函數(shù)的角度來進行描述?

　　問題4：

　　一般地，對于一般的二次三項式，二次方程與二次函數(shù)，它們之間有何聯(lián)系?

　　結(jié)論：

　　代數(shù)式的值就是相應(yīng)的函數(shù)值;

　　方程的根就是使相應(yīng)函數(shù)值為0的x的值。

　　更一般地

　　方程f(x)=0的根，就是使函數(shù)值y=f(x)的函數(shù)值為0的x值，從函數(shù)的角度我們稱之為零點。

　　設(shè)計意圖:本節(jié)課是函數(shù)應(yīng)用的第一課，有必要讓學生對函數(shù)的應(yīng)用有所了解。從具體的問題出發(fā),揭示函數(shù)與代數(shù)式、方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，并從學生所熟悉的具體的二次函數(shù)，推廣到一般的二次函數(shù)，再進一步推廣到一般的函數(shù)。

　　(二) 互動交流研討新知

　　1.函數(shù)零點的概念：

　　對于函數(shù)

　　，把使

　　成立的實數(shù)

　　叫做函數(shù)

　　的零點.

　　2.對零點概念的理解

　　案例2：觀察圖象

　　問題1：此圖象是否能表示函數(shù)?

　　問題2：你能從中分析函數(shù)有哪些零點嗎?

　　問題3：從函數(shù)圖象的角度，你能對函數(shù)的零點換一種說法嗎?

　　結(jié)論：函數(shù)

　　的零點就是方程

　　實數(shù)根，亦即函數(shù)

　　的圖象與

　　軸交點的橫坐標.即：

　　方程

　　有實數(shù)根

　　函數(shù)

　　的圖象與

　　軸有交點

　　函數(shù)

　　有零點.

　　設(shè)計意圖：進一步掌握函數(shù)的核心概念，同時通過圖象進行一步完善對函數(shù)零點的全面理解，為下面借助圖象探究零點存在性定理作好一定的鋪墊。

　　2.零點存在定理的探究

　　案例3：下表是三次函數(shù)

　　的部分對應(yīng)值表：

　　問題1：你能從表中找出函數(shù)的零點嗎?

　　問題2：結(jié)合圖象與表格，你能發(fā)現(xiàn)此函數(shù)零點的附近函數(shù)值有何特點?

　　生：兩邊的函數(shù)值異號!

　　問題3：如果一個函數(shù)f(x)滿足f(a)f(b)<0,在區(qū)間(a,b)上是否一定存在著函數(shù)的零點?

　　注意:函數(shù)在區(qū)間上必須是連續(xù)的(圖象能一筆畫),從而引出零點存在性定理.

　　問題4: 有位同學畫了一個圖,認為定理不一定成立,你的看法呢?

　　問題5:你能改變定理的條件或結(jié)論,得到一些新的命題嗎?

　　如1:加強定理的結(jié)論:若在區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(a)f(b)<0,是否意味著函數(shù)f(x)在[a,b]上恰有一個零點?

　　如2.將定理反過來:若連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上有一個零點,是否一定有f(a)f(b)<0?

　　如3:一般化:一個函數(shù)的零點是否都可由上述的定理進行判斷?(反例:同號零點,如案例2中的零點-2)

　　設(shè)計意圖：通過表格，是為了進一步鞏固對函數(shù)這一概念的全面認識，并為觀察零點存在性定理中函數(shù)值的異號埋下伏筆。通過教師的設(shè)問讓學生進一步全面深入地領(lǐng)悟定理的內(nèi)容，而鼓勵學生提問，是培養(yǎng)學生學習主動性和創(chuàng)造能力必要的過程。

　　(三)鞏固深化，發(fā)展思維

　　例1、求函數(shù)f(x)=㏑x+2x -6的零點個數(shù)。

　　設(shè)計問題：

　　(1)你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點?

　　(2)你是如何來確定零點所在的區(qū)間的?請各自選擇。

　　(3)零點是唯一的嗎?為什么?

　　設(shè)計意圖：對所學內(nèi)容鞏固，可以借助<幾何畫板>畫出函數(shù)f(x)的圖象觀察,也可借助列出函數(shù)值表觀察。

　　本題可以使學生意識對零點的區(qū)間是不唯一的，為下一節(jié)二分法求方程的近似解奠定基礎(chǔ)。

　　讓學生進一步領(lǐng)悟，零點的唯一性需要借助函數(shù)的單調(diào)性。

　　(四)歸納整理，整體認識

　　請回顧本節(jié)課所學知識內(nèi)容有哪些?

　　所涉及到的主要數(shù)學思想又有哪些?

　　你還獲得了什么?

　　(五)作業(yè)(略)

方程的根與函數(shù)的零點教案3

　　第一課時： 3.1.1

　　教學要求：結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系；掌握零點存在的判定條件.

　　教學重點：體會函數(shù)的零點與方程根之間的聯(lián)系，掌握零點存在的判定條件.

　　教學難點：恰當?shù)氖褂眯畔⒐ぞ撸接懞瘮?shù)零點個數(shù).

　　教學過程：

　　一、復(fù)習準備：

　　思考：一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根與二次函數(shù)y=ax +bx+c的圖象之間有什么關(guān)系？

　　.二、講授新課：

　　1、探討函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系：

　�、� 探討：方程x -2x-3=o 的根是什么？函數(shù)y= x -2x-3的圖象與x軸的交點?

　　方程x -2x+1=0的根是什么？函數(shù)y= x -2x+1的圖象與x軸的交點？

　　方程x -2x+3=0的根是什么？函數(shù)y= x -2x+3的圖象與x軸有幾個交點？

　�、� 根據(jù)以上探討，讓學生自己歸納并發(fā)現(xiàn)得出結(jié)論： → 推廣到y(tǒng)=f(x)呢？

　　一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根就是相應(yīng)二次函數(shù)y=ax +bx+c的圖象與x軸交點橫坐標.

　�、� 定義零點：對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.

　�、� 討論：y=f(x)的零點、方程f(x)=0的實數(shù)根、函數(shù)y=f(x) 的圖象與x軸交點的橫坐標的關(guān)系？

　　結(jié)論：方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x) 的圖象與x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點

　�、� 練習：求下列函數(shù)的零點； → 小結(jié)：二次函數(shù)零點情況

　　2、教學零點存在性定理及應(yīng)用：

　�、� 探究：作出的圖象，讓同學們求出f(2),f(1)和f(0)的值, 觀察f(2)和f(0)的符號

　�、谟^察下面函數(shù) 的圖象，在區(qū)間上______(有/無)零點； _____0（＜或＞）. 在區(qū)間上______(有/無)零點； _____0（＜或＞）．在區(qū)間上______(有/無)零點； _____0（＜或＞)．

　�、鄱ɡ恚喝绻瘮�(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的.一條曲線，并且有f(a).f(b)<0,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點，即存在c (a,b),使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根.

　　④ 應(yīng)用：求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點的個數(shù). （試討論一些函數(shù)值→分別用代數(shù)法、幾何法）

　�、菪〗Y(jié)：函數(shù)零點的求法

　　代數(shù)法：求方程的實數(shù)根；

　　幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點．

　�、� 練習：求函數(shù) 的零點所在區(qū)間.

　　3、小結(jié)：零點概念；零點、與x軸交點、方程的根的關(guān)系；零點存在性定理

　　三、鞏固練習：1. p97, 1,題 2,題（教師計算機演示，學生回答）

　　2. 求函數(shù) 的零點所在區(qū)間，并畫出它的大致圖象.

　　3. 求下列函數(shù)的零點：；；；

　　4.已知：（1）為何值時，函數(shù)的圖象與軸有兩個零點；

　�。�2）如果函數(shù)至少有一個零點在原點右側(cè)，求的值．

　　5. 作業(yè)：p102, 2題；p125 1題

　　第二課時： 3.1.2用二分法求方程的近似解

　　教學要求：根據(jù)具體函數(shù)圖象，能夠借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解. 通過用二分法求方程的近似解，使學生體會函數(shù)零點與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點處理問題的意識.

　　教學重點：用二分法求方程的近似解.

　　教學重點：恰當?shù)氖褂眯畔⒐ぞ?

　　教學過程：

　　一、復(fù)習準備：

　　1. 提問：什么叫零點？零點的等價性？零點存在性定理？

方程的根與函數(shù)的零點教案4

　　一、本課數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)、地位、作用分析

　　普通高中課標教材必修1共安排了三章內(nèi)容，第一章是《集合與函數(shù)的概念》，第二章是《基本初等函數(shù)(Ⅰ)》，第三章是《函數(shù)的應(yīng)用》。第三章編排了兩塊內(nèi)容，第一部分是函數(shù)與方程，第二部分是函數(shù)模型及其應(yīng)用。本節(jié)課方程的根與函數(shù)的零點，正是在這種建立和運用函數(shù)模型的大背景下展開的。本節(jié)課的主要教學內(nèi)容是函數(shù)零點的定義和函數(shù)零點存在的判定依據(jù)，這兩者顯然是為下節(jié)“用二分法求方程近似解”這一“函數(shù)的應(yīng)用”服務(wù)的，同時也為后續(xù)學習的算法埋下伏筆。由此可見，它起著承上啟下的作用，與整章、整冊綜合成一個整體，學好本節(jié)意義重大。

　　函數(shù)在數(shù)學中占據(jù)著不可替代的核心地位，根本原因之一在于函數(shù)與其他知識具有廣泛的聯(lián)系，而函數(shù)的零點就是其中的一個鏈結(jié)點,它從不同的角度,將數(shù)與形,函數(shù)與方程有機地聯(lián)系在一起。方程本身就是函數(shù)的一部分，用函數(shù)的觀點來研究方程，就是將局部放入整體中研究，進而對整體和局部都有一個更深層次的理解，并學會用聯(lián)系的觀點解決問題，為后面函數(shù)與不等式和數(shù)列等其他知識的聯(lián)系奠定基礎(chǔ)。

　　二、教學目標分析

　　本節(jié)內(nèi)容包含三大知識點：

　　一、函數(shù)零點的定義;

　　二、方程的根與函數(shù)零點的等價關(guān)系;

　　三、零點存在性定理。

　　結(jié)合本節(jié)課引入三大知識點的方法，設(shè)定本節(jié)課的知識與技能目標如下：

　　1.結(jié)合方程根的幾何意義，理解函數(shù)零點的定義;

　　2.結(jié)合零點定義的探究，掌握方程的實根與其相應(yīng)函數(shù)零點之間的等價關(guān)系;

　　3.結(jié)合幾類基本初等函數(shù)的圖象特征，掌握判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在區(qū)間的方法.

　　本節(jié)課是學生在學習了函數(shù)的性質(zhì)，具備了初步的數(shù)形結(jié)合知識的基礎(chǔ)上，通過對特殊函數(shù)圖象的分析進行展開的，是培養(yǎng)學生“化歸與轉(zhuǎn)化思想”，“數(shù)形結(jié)合思想”，“函數(shù)與方程思想”的優(yōu)質(zhì)載體。

　　結(jié)合本節(jié)課教學主線的設(shè)計，設(shè)定本節(jié)課的過程與方法目標如下：

　　1.通過化歸與轉(zhuǎn)化思想的引導(dǎo)，培養(yǎng)學生從已有認知結(jié)構(gòu)出發(fā)，尋求解決棘手問題方法的習慣;

　　2.通過數(shù)形結(jié)合思想的滲透，培養(yǎng)學生主動應(yīng)用數(shù)學思想的意識;

　　3.通過習題與探究知識的相關(guān)性設(shè)置，引導(dǎo)學生深入探究得出判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在區(qū)間的方法;

　　4.通過對函數(shù)與方程思想的不斷剖析，促進學生對知識靈活應(yīng)用的能力。

　　由于本節(jié)課將以教師引導(dǎo)，學生探究為主體形式，故設(shè)定本節(jié)課的情感、態(tài)度與價值觀目標如下：

　　1.讓學生體驗化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程這三大數(shù)學思想在解決數(shù)學問題時的意義與價值;

　　2.培養(yǎng)學生鍥而不舍的探索精神和嚴密思考的良好學習習慣。

　　3.使學生感受學習、探索發(fā)現(xiàn)的樂趣與成功感。

　　三、教學問題診斷

　　學生具備的認知基礎(chǔ)：

　　1.基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì);

　　2.一元二次方程的根和相應(yīng)函數(shù)圖象與x軸的聯(lián)系;

　　3.將數(shù)與形相結(jié)合轉(zhuǎn)化的意識。

　　學生欠缺的實際能力：

　　1.主動應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的意識還不強;

　　2.將未知問題已知化，將復(fù)雜問題簡單化的化歸意識淡薄;

　　3.從直觀到抽象的概括總結(jié)能力還不夠;

　　4.概念的內(nèi)涵與外延的探究意識有待提高。

　　對本節(jié)課的教學，教材是利用一組一元二次方程和二次函數(shù)的關(guān)系來引入函數(shù)零點的。這樣處理，主要是想讓學生在原有二次函數(shù)的認知基礎(chǔ)上，使其知識得到自然的發(fā)生發(fā)展。理解了像二次函數(shù)這樣簡單的函數(shù)零點，再來理解其他復(fù)雜的函數(shù)零點就會容易一些。但學生對如何解一元二次方程以及二次函數(shù)的圖象早就熟練了，這樣的引入過程使學生感到平淡，激發(fā)不起他們的興趣，他們對零點的理解也只會浮于表面，也無法使其體會引入函數(shù)零點的必要性，理解不了方程根存在的本質(zhì)原因是零點的'存在。

　　教材是通過由直觀到抽象的過程，才得到判斷函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)有零點的一種條件的，如果不能有效地對該過程進行引導(dǎo)，容易出現(xiàn)學生被動接受，盲目記憶的結(jié)果，而喪失了對學生應(yīng)用數(shù)學思想方法的意識進行培養(yǎng)的機會。

　　教材中零點存在性定理只表述了存在零點的條件，但對存在零點的個數(shù)并未多做說明，這就要求教師對該定理的內(nèi)涵和外延要有清晰的把握，引導(dǎo)學生探究出只存在一個零點的條件，否則學生對定理的內(nèi)容很容易心存疑慮。

　　四、本節(jié)課的教法特點以及預(yù)期效果分析

　　本節(jié)課教法的幾大特點總結(jié)如下：

　　1.以問題為主線貫穿始終;

　　2.精心設(shè)置引導(dǎo)性的語言放手讓學生探究;

　　3.注重在引導(dǎo)學生探究問題解法的過程中滲透數(shù)學思想;

　　4.在探究過程中引入新知識點，在引入新知識點后適時歸納總結(jié)，進行探究階段性成果的應(yīng)用。

　　由于所設(shè)置的主線問題具有很高的探究價值，所以預(yù)期學生熱情會很高，積極性調(diào)動起來，那整節(jié)課才能活起來;

　　由于為了更好地組織學生探究所設(shè)置的引導(dǎo)性語言，重在去挖掘?qū)W生內(nèi)心真實的想法和他們最真實體會到的困難，所以通過學生活動會更多地暴露他們在基礎(chǔ)知識掌握方面的缺憾，免不了要隨時糾正對過往知識的錯誤理解;

　　因為在探究過程中不斷滲透數(shù)學思想，學生對親身經(jīng)歷的解題方法就會有更深的體會，主動應(yīng)用數(shù)學思想的意識在上升，對于主線問題也應(yīng)該可以迎刃而解;

　　因為在探究過程中引入新知識點，學生對新知識產(chǎn)生的必要性會有更深刻的體會和認識，同時在新知識產(chǎn)生后，又適時地加以應(yīng)用，學生對新知識的應(yīng)用能力不斷提高。

方程的根與函數(shù)的零點教案5

　　學習目標

　　1. 結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系;

　　2. 掌握零點存在的判定定理.

　　學習過程

　　一、課前準備

　　(預(yù)習教材P86~ P88，找出疑惑之處)

　　復(fù)習1：一元二次方程 +bx+c=0 (a 0)的解法.

　　判別式 = .

　　當 0，方程有兩根，為 ;

　　當 0，方程有一根，為 ;

　　當 0，方程無實根.

　　復(fù)習2：方程 +bx+c=0 (a 0)的根與二次函數(shù)y=ax +bx+c (a 0)的圖象之間有什么關(guān)系?

　　判別式一元二次方程二次函數(shù)圖象

　　二、新課導(dǎo)學

　　※ 學習探究

　　探究任務(wù)一：函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系

　　問題：

　�、� 方程的解為，函數(shù) 的圖象與x軸有個交點，坐標為 .

　　根據(jù)以上結(jié)論，可以得到：

　　一元二次方程的根就是相應(yīng)二次函數(shù) 的圖象與x軸交點的 .

　　你能將結(jié)論進一步推廣到嗎?

　　新知：對于函數(shù) ，我們把使的實數(shù)x叫做函數(shù) 的零點(zero point).

　　反思：

　　函數(shù) 的零點、方程的實數(shù)根、函數(shù) 的圖象與x軸交點的橫坐標，三者有什么關(guān)系?

　　試試：

　　(1)函數(shù) 的零點為 ; (2)函數(shù) 的零點為 .

　　小結(jié)：方程有實數(shù)根函數(shù) 的圖象與x軸有交點函數(shù) 有零點.

　　探究任務(wù)二：零點存在性定理

　　問題：

　�、� 作出的圖象，求的值，觀察和的符號

　�、� 觀察下面函數(shù) 的圖象，

　　在區(qū)間上零點; 0;

　　在區(qū)間上零點; 0.

　　新知：如果函數(shù) 在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 0，那么，函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個c也就是方程的根.

　　討論：零點個數(shù)一定是一個嗎? 逆定理成立嗎?試結(jié)合圖形來分析.

　　※ 典型例題

　　例1求函數(shù) 的零點的個數(shù).

　　變式：求函數(shù) 的零點所在區(qū)間.

　　小結(jié)：函數(shù)零點的求法.

　�、� 代數(shù)法：求方程的實數(shù)根;

　�、� 幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.

　　※ 動手試試

　　練1. 求下列函數(shù)的零點：

　　(1) ;

　　(2) .

　　練2. 求函數(shù) 的零點所在的大致區(qū)間.

　　三、總結(jié)提升

　　※ 學習小結(jié)

　�、倭泓c概念;②零點、與x軸交點、方程的'根的關(guān)系;③零點存在性定理

　　※ 知識拓展

　　圖象連續(xù)的函數(shù)的零點的性質(zhì)：

　　(1)函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當它通過零點時(非偶次零點)，函數(shù)值變號.

　　推論：函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)的，且，那么函數(shù) 在區(qū)間上至少有一個零點.

　　(2)相鄰兩個零點之間的函數(shù)值保持同號.

　　學習評價

　　※ 自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學案的情況為( ).

　　A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差

　　※ 當堂檢測(時量：5分鐘滿分：10分)計分：

　　1. 函數(shù) 的零點個數(shù)為( ).

　　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

　　2.若函數(shù) 在上連續(xù)，且有 .則函數(shù) 在上( ).

　　A. 一定沒有零點 B. 至少有一個零點

　　C. 只有一個零點 D. 零點情況不確定

　　3. 函數(shù) 的零點所在區(qū)間為( ).

　　A. B. C. D.

　　4. 函數(shù) 的零點為 .

　　5. 若函數(shù) 為定義域是R的奇函數(shù)，且在上有一個零點.則的零點個數(shù)為 .

　　課后作業(yè)

　　1. 求函數(shù) 的零點所在的大致區(qū)間，并畫出它的大致圖象.

　　2. 已知函數(shù) .

　　(1) 為何值時，函數(shù)的圖象與軸有兩個零點;

　　(2)若函數(shù)至少有一個零點在原點右側(cè)，求值.

方程的根與函數(shù)的零點教案6

　　一、教學內(nèi)容解析

　　本節(jié)課的主要內(nèi)容有函數(shù)零點的的概念、函數(shù)零點存在性判定定理。

　　函數(shù)f（x）零點是中學數(shù)學中的重要概念之一。從函數(shù)值與自變量之間的關(guān)系來看，零點就是使函數(shù)值為0的實數(shù)x。從方程的角度來看，零點即為方程f(x)=0的實數(shù)根。而從函數(shù)的圖形表示來看，零點則是函數(shù)與x軸交點的橫坐標。函數(shù)作為中學數(shù)學的核心概念之一，其重要性之一在于函數(shù)能夠與其他知識產(chǎn)生廣泛的聯(lián)系。而函數(shù)的零點就成為了這種聯(lián)系的一個關(guān)鍵點，它將數(shù)與形、函數(shù)與方程有機地聯(lián)系在了一起。

　　函數(shù)零點存在性判定定理的目的是為了通過尋找函數(shù)的零點來研究方程的根。這進一步突顯了函數(shù)思想的應(yīng)用，并為二分法求解方程的近似解提供了知識和思想上的準備。這個定理無需證明，關(guān)鍵在于讓學生通過自己的感知體驗加以確認。為了加強對定理的全面理解，需要結(jié)合具體的例子來進行講解，比如定理應(yīng)用的局限性。即定理的前提是函數(shù)的圖像必須是連續(xù)的，而且定理只能判定函數(shù)的“變號”零點。此外，在定理的結(jié)論中零點存在但不一定唯一，需要進一步結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)來作出判斷。

　　對于函數(shù)與方程的關(guān)系，我們可以通過逐步認識來深入理解。教材通常采用由淺入深、循序漸進的原則進行講解。首先，從學生認為較簡單的一元二次方程和相應(yīng)的二次函數(shù)入手，通過具體的例子引導(dǎo)他們建立一元二次方程的根與相應(yīng)二次函數(shù)的零點之間的聯(lián)系。然后，逐步推廣到一般方程和相應(yīng)函數(shù)的情況。

　　函數(shù)和方程是數(shù)學中兩個重要的概念。函數(shù)代表著一個動態(tài)的過程，而方程則代表著一個靜態(tài)的結(jié)果。函數(shù)所描述的是整體性質(zhì)，而方程則更注重局部問題。通過函數(shù)的.角度來研究方程，實質(zhì)上是將局部問題置于整體之中進行研究，將靜態(tài)的結(jié)果納入動態(tài)的過程中分析。這為今后進一步學習函數(shù)與不等式等其他知識提供了堅實的基礎(chǔ)。

　　本節(jié)課是函數(shù)應(yīng)用的第一講，所以在教學時應(yīng)站在函數(shù)應(yīng)用的角度上，通過與其他知識的聯(lián)系來引入。

　　二、教學目標解析

　　2.通過觀察函數(shù)的圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)一些特殊函數(shù)的零點存在的特點。例如，對于一個單調(diào)遞增的函數(shù)，如果其在某個區(qū)間上有正值和負值出現(xiàn)，那么根據(jù)介值定理，可以判定該函數(shù)在這個區(qū)間上存在至少一個零點。類似地，對于一個單調(diào)遞減的函數(shù)，在某個區(qū)間上有負值和正值出現(xiàn)時，也可以判定其存在至少一個零點。當然，判定函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的方法不僅限于單調(diào)性的分析。比如，我們可以通過觀察函數(shù)的圖像上的交點來判斷是否存在零點。如果函數(shù)的圖像與x軸相交，那么就意味著存在一個或多個零點。此外，我們還可以使用微積分中的牛頓法、割線法等方法來尋找函數(shù)在某個區(qū)間上的零點。需要注意的是，判定函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的方法并非適用于所有函數(shù)。有些函數(shù)可能具有特殊的性質(zhì)或者圖像特征，使得上述方法無法準確確定函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點。因此，在應(yīng)用這些方法之前，我們需要了解定理的前提條件，并考慮其局限性�？偨Y(jié)起來，通過觀察函數(shù)的圖像、分析函數(shù)的單調(diào)性以及應(yīng)用微積分中的方法，我們可以判定函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點。然而，需要注意不同函數(shù)可能具有不同的特點和性質(zhì)，判定方法的準確性和適用性也會有所不同。因此，在使用這些方法時需要謹慎，并考慮定理的前提條件和準確結(jié)論。

　　3.通過具體實例，學生能結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)進一步判斷函數(shù)零點的個數(shù)。

　　4.在學習過程中，體驗函數(shù)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想。

　　三、教學問題診斷分析

　　1.通過前面的學習，學生已經(jīng)了解了一些基本初等函數(shù)的模型，并且掌握了函數(shù)圖象的一般畫法，以及一定的看圖識圖能力。這為本節(jié)課利用函數(shù)圖象來判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎(chǔ)。然而，學生在理解函數(shù)零點的概念本質(zhì)時存在一些問題，主要是缺乏對函數(shù)的觀點和函數(shù)應(yīng)用的意識，導(dǎo)致對函數(shù)與方程之間的聯(lián)系缺乏了解。因此，在作為函數(shù)應(yīng)用的第一課時中，有必要明確函數(shù)的核心地位，即說明函數(shù)與其他知識的聯(lián)系以及它在生活中的應(yīng)用，從而初步樹立起函數(shù)應(yīng)用的意識。并且，從這個基礎(chǔ)上出發(fā)，通過問題的設(shè)定引導(dǎo)學生思考，再通過實例的確認與體驗，從直觀到抽象，從特殊到一般的學習方式，突破學生對這一認識層面的困惑。

　　2.教材通常不要求對于零點存在的判定定理進行證明，因此教師可以通過提供一些具體案例讓學生進行操作和感知，同時鼓勵他們舉例來驗證，并最終自主地獲得并確認該定理的結(jié)論。學生在考慮定理的條件和結(jié)論時往往不夠深入，所以教師可以通過提出具體問題，引導(dǎo)他們從不同角度如正面、反面、側(cè)面等重新審視對于定理的理解。

　　四、教學過程設(shè)計

　�。ㄒ唬﹦�(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

　　案例1：周長為定值的矩形

　　不妨取l=12

　　問題1：求其面積的值：

　　顯然面積是一個關(guān)于x的一個二次多項式，用幾何畫板演示矩形的變化：

　　問題2：求矩形面積的最大值?

　　當x取不同值時，代數(shù)式的值也相應(yīng)隨之變化，你能從函數(shù)的角度審視其中的關(guān)系嗎?

　　問題3：能否使得矩形的面積為8?你是如何分析的?

　�。�1）實驗演示的角度進行估計，拖動時難以恰好出現(xiàn)面積為8的情況;

　�。�2）解方程：x（6-x）=8

　�。�3）方程x（6-x）=8能否從函數(shù)的角度來進行描述?

　　問題4：

　　一般地，對于一般的二次三項式，二次方程與二次函數(shù)，它們之間有何聯(lián)系?

　　結(jié)論：

　　代數(shù)式的值就是相應(yīng)的函數(shù)值;方程的根就是使相應(yīng)函數(shù)值為0的x的值。

　　更一般地方程f（x）=0的根，就是使函數(shù)值y=f（x）的函數(shù)值為0的x值，從函數(shù)的角度我們稱之為零點。

　　設(shè)計意圖:本節(jié)課是函數(shù)應(yīng)用的第一堂課，旨在讓學生對函數(shù)應(yīng)用有所了解。通過具體問題的引導(dǎo)，我們將揭示函數(shù)與代數(shù)式、方程之間的內(nèi)在聯(lián)系。我們以學生熟悉的二次函數(shù)為起點，推廣到一般的二次函數(shù)，并進一步推廣到一般的函數(shù)的應(yīng)用。

　�。ǘ┗咏涣餮杏懶轮�

　　1.函數(shù)零點的概念：

　　對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.

　　2.對零點概念的理解

　　案例2：觀察圖象

　　問題1：此圖象是否能表示函數(shù)?

　　問題2：你能從中分析函數(shù)有哪些零點嗎?

　　問題3：從函數(shù)圖象的角度，你能對函數(shù)的零點換一種說法嗎?

　　結(jié)論：函數(shù)的零點是指使得函數(shù)取值為0的橫坐標，也就是方程的實數(shù)根。換句話說，函數(shù)的圖像與x軸相交的點就是函數(shù)的零點。即：如果一個方程有實數(shù)根，那么函數(shù)的圖像與x軸有交點，這個交點就是函數(shù)的零點。

　　設(shè)計意圖：進一步深入了解函數(shù)的核心概念，同時通過圖像更全面地理解函數(shù)零點，并為下一步使用圖像探索零點存在性定理做好必要準備。

　　2.零點存在定理的探究

　　案例3：下表是三次函數(shù)的部分對應(yīng)值表：

　　問題1：你能從表中找出函數(shù)的零點嗎?

　　問題2：結(jié)合圖象與表格，你能發(fā)現(xiàn)此函數(shù)零點的附近函數(shù)值有何特點?

　　生：兩邊的函數(shù)值異號!

　　問題3：如果一個函數(shù)f（x）滿足f（a）f（b）0,在區(qū)間（a,b）上是否一定存在著函數(shù)的零點?

　　注意:函數(shù)在區(qū)間上必須是連續(xù)的（圖象能一筆畫）,從而引出零點存在性定理.

　　問題4:有位同學畫了一個圖,認為定理不一定成立,你的看法呢?

　　問題5:你能改變定理的條件或結(jié)論,得到一些新的命題嗎?

　　如1:加強定理的結(jié)論:若在區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)f（x）滿足f（a）f（b）0,是否意味著函數(shù)f（x）在[a,b]上恰有一個零點?

　　如2.將定理反過來:若連續(xù)函數(shù)f（x）在[a,b]上有一個零點,是否一定有f（a）f（b）0?

　　如3:通常情況下，一個函數(shù)的零點可以通過上述定理來判斷。然而，存在一種特殊情況，即同號零點。這意味著函數(shù)在某個點上取得零值，但是其導(dǎo)數(shù)并不改變符號。因此，這種情況不能通過定理來判斷零點的存在與否。一個例子是函數(shù)f(x) = x^2 - 4x + 4。此函數(shù)在x = 2處有一個同號零點，即f(2) = 0，但是該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x) = 2x - 4在x = 2處也為0，并且保持負號。因此，盡管滿足了定理中的條件，我們無法使用定理來判斷零點的存在。

　�。ㄈ╈柟躺罨l(fā)展思維

　　例1、求函數(shù)f（x）=㏑x+2x -6的零點個數(shù)。

　　設(shè)計問題：

　�。�1）你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點?

　　（2）你是如何來確定零點所在的區(qū)間的?請各自選擇。

　�。�3）零點是唯一的嗎?為什么?

　　設(shè)計意圖：鞏固所學內(nèi)容的方法有很多種，其中一種方法是利用幾何畫板繪制函數(shù)f（x）的圖像并進行觀察。另外，我們還可以列出函數(shù)值表來更好地觀察函數(shù)的性質(zhì)。希望以上回答能夠滿足您的要求，如有需要請隨時告訴我。

　　本題可以幫助學生認識到對于某個零點，存在多個不同的區(qū)間，并為下一節(jié)學習二分法求方程近似解提供基礎(chǔ)。

　　讓學生進一步領(lǐng)悟，零點的唯一性需要借助函數(shù)的單調(diào)性。

　�。ㄋ模w納整理，整體認識

　　請回顧本節(jié)課所學知識內(nèi)容有哪些?

　　所涉及到的主要數(shù)學思想又有哪些?