數(shù)學(xué)高中必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
在現(xiàn)實(shí)學(xué)習(xí)生活中,說(shuō)起知識(shí)點(diǎn),應(yīng)該沒有人不熟悉吧?知識(shí)點(diǎn)是傳遞信息的基本單位,知識(shí)點(diǎn)對(duì)提高學(xué)習(xí)導(dǎo)航具有重要的作用。想要一份整理好的知識(shí)點(diǎn)嗎?下面是小編為大家整理的數(shù)學(xué)高中必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié),歡迎閱讀與收藏。
數(shù)學(xué)高中必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1
一、平面的基本性質(zhì)與推論
1、平面的基本性質(zhì):
公理1如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi);
公理2過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;
公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。
2、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系:
直線與直線—平行、相交、異面;
直線與平面—平行、相交、直線屬于該平面(線在面內(nèi),最易忽視);
平面與平面—平行、相交。
3、異面直線:
平面外一點(diǎn)A與平面一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線是異面直線(判定);
所成的角范圍(0,90)度(平移法,作平行線相交得到夾角或其補(bǔ)角);
兩條直線不是異面直線,則兩條直線平行或相交(反證);
異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)。
求異面直線所成的角:平移法,把異面問題轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角
二、空間中的平行關(guān)系
1、直線與平面平行(核心)
定義:直線和平面沒有公共點(diǎn)
判定:不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線平行于此平面(由線線平行得出)
性質(zhì):一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交,則這條直線就和兩平面的交線平行
2、平面與平面平行
定義:兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)
判定:一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行
性質(zhì):兩個(gè)平面平行,則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面;如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。
3、常利用三角形中位線、平行四邊形對(duì)邊、已知直線作一平面找其交線
三、空間中的垂直關(guān)系
1、直線與平面垂直
定義:直線與平面內(nèi)任意一條直線都垂直
判定:如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交的'直線都垂直,則該直線與此平面垂直
性質(zhì):垂直于同一直線的兩平面平行
推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面
直線和平面所成的角:【0,90】度,平面內(nèi)的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影說(shuō)成的銳角,特別規(guī)定垂直90度,在平面內(nèi)或者平行0度
2、平面與平面垂直
定義:兩個(gè)平面所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形)是直二面角(二面角的平面角:以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線所成的角)
判定:一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直
性質(zhì):兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直
數(shù)學(xué)高中必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)2
★高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)
一、早期導(dǎo)數(shù)概念————特殊的形式大約在1629年法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬研究了作曲線的切線和求函數(shù)極值的方法1637年左右他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線時(shí)他構(gòu)造了差分f(A+E)—f(A),發(fā)現(xiàn)的因子E就是我們所說(shuō)的導(dǎo)數(shù)f(A)。
二、17世紀(jì)————廣泛使用的“流數(shù)術(shù)”17世紀(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展推動(dòng)了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上大數(shù)學(xué)家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統(tǒng)地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱為“流數(shù)術(shù)”他稱變量為流量稱變量的變化率為流數(shù)相當(dāng)于我們所說(shuō)的導(dǎo)數(shù)。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的計(jì)算法》和《流數(shù)術(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)》流數(shù)理論的實(shí)質(zhì)概括為他的重點(diǎn)在于一個(gè)變量的函數(shù)而不在于多變量的方程在于自變量的變化與函數(shù)的變化的比的構(gòu)成最在于決定這個(gè)比當(dāng)變化趨于零時(shí)的極限。
三、19世紀(jì)導(dǎo)數(shù)————逐漸成熟的理論1750年達(dá)朗貝爾在為法國(guó)科學(xué)家院出版的《百科全書》第五版寫的“微分”條目中提出了關(guān)于導(dǎo)數(shù)的一種觀點(diǎn)可以用現(xiàn)代符號(hào)簡(jiǎn)單表示{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年柯西在他的《無(wú)窮小分析概論》中定義導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在變量x的兩個(gè)給定的界限之間保持連續(xù)并且我們?yōu)檫@樣的變量指定一個(gè)包含在這兩個(gè)不同界限之間的值那么是使變量得到一個(gè)無(wú)窮小增量。19世紀(jì)60年代以后魏爾斯特拉斯創(chuàng)造了ε—δ語(yǔ)言對(duì)微積分中出現(xiàn)的各種類型的極限重加表達(dá)導(dǎo)數(shù)的定義也就獲得了今天常見的形式。
四、實(shí)無(wú)限將異軍突起微積分第二輪初等化或成為可能微積分學(xué)理論基礎(chǔ)大體可以分為兩個(gè)部分。一個(gè)是實(shí)無(wú)限理論即無(wú)限是一個(gè)具體的東西一種真實(shí)的存在另一種是潛無(wú)限指一種意識(shí)形態(tài)上的過(guò)程比如無(wú)限接近。就歷史來(lái)看兩種理論都有一定的道理。其中實(shí)無(wú)限用了150年后來(lái)極限論就是現(xiàn)在所使用的。光是電磁波還是粒子是一個(gè)物理學(xué)長(zhǎng)期爭(zhēng)論的問題后來(lái)由波粒二象性來(lái)統(tǒng)一。微積分無(wú)論是用現(xiàn)代極限論還是150年前的理論都不是最好的手段。
★高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)要點(diǎn)
1、求函數(shù)的單調(diào)性:
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本方法:設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),(1)如果恒f(x)0,則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù);(2)如果恒f(x)0,則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù);(3)如果恒f(x)0,則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù)。
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟:①求函數(shù)yf(x)的定義域;②求導(dǎo)數(shù)f(x);③解不等式f(x)0,解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增區(qū)間;④解不等式f(x)0,解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為減區(qū)間。
反過(guò)來(lái),也可以利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問題(如確定參數(shù)的取值范圍):設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),
。1)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù),則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構(gòu)成區(qū)間);
。2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù),則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構(gòu)成區(qū)間);
。3)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù),則f(x)0恒成立。
2、求函數(shù)的極值:
設(shè)函數(shù)yf(x)在x0及其附近有定義,如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)),則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的極小值(或極大值)。
可導(dǎo)函數(shù)的極值,可通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性求得,基本步驟是:
。1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f(x);(3)求方程f(x)0的全部實(shí)根,x1x2xn,順次將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間,并列表:x變化時(shí),f(x)和f(x)值的
變化情況:
。4)檢查f(x)的符號(hào)并由表格判斷極值。
3、求函數(shù)的最大值與最小值:
如果函數(shù)f(x)在定義域I內(nèi)存在x0,使得對(duì)任意的xI,總有f(x)f(x0),則稱f(x0)為函數(shù)在定義域上的'最大值。函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不一定唯一,但在定義域內(nèi)的最值是唯一的。
求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值的步驟:(1)求f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值;
。2)將第一步中求得的極值與f(a),f(b)比較,得到f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值。
4、解決不等式的有關(guān)問題:
。1)不等式恒成立問題(絕對(duì)不等式問題)可考慮值域。
f(x)(xA)的值域是[a,b]時(shí),
不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)max0,即b0;
不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)min0,即a0。
f(x)(xA)的值域是(a,b)時(shí),
不等式f(x)0恒成立的充要條件是b0;不等式f(x)0恒成立的充要條件是a0。
。2)證明不等式f(x)0可轉(zhuǎn)化為證明f(x)max0,或利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為證明f(x)f(x0)0。
5、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用:
實(shí)際生活求解最大(。┲祮栴},通常都可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。在利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)最值時(shí),一定要注意,極值點(diǎn)唯一的單峰函數(shù),極值點(diǎn)就是最值點(diǎn),在解題時(shí)要加以說(shuō)明。
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一、求導(dǎo)數(shù)的方法
。1)基本求導(dǎo)公式
(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算
。3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
設(shè)在點(diǎn)x處可導(dǎo),y=在點(diǎn)處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo),且即
二、關(guān)于極限
1、數(shù)列的極限:
粗略地說(shuō),就是當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)n無(wú)限增大時(shí),數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限趨向于A,這就是數(shù)列極限的描述性定義。記作:=A。如:
2、函數(shù)的極限:
當(dāng)自變量x無(wú)限趨近于常數(shù)時(shí),如果函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù),就說(shuō)當(dāng)x趨近于時(shí),函數(shù)的極限是,記作
三、導(dǎo)數(shù)的概念
1、在處的導(dǎo)數(shù)。
2、在的導(dǎo)數(shù)。
3。函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義:
函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率,
即k=,相應(yīng)的'切線方程是
注:函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在時(shí)的函數(shù)值,就是在處的導(dǎo)數(shù)。
例、若=2,則=()A—1B—2C1D
四、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用
函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),就是曲線y=(x)在點(diǎn)處的切線的斜率。由此,可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程。具體求法分兩步:
。1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),即曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率k=
。2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下,求得切線方程為x。
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軌跡,包含兩個(gè)方面的問題:凡在軌跡上的點(diǎn)都符合給定的條件,這叫做軌跡的純粹性(也叫做必要性);凡不在軌跡上的點(diǎn)都不符合給定的條件,也就是符合給定條件的點(diǎn)必在軌跡上,這叫做軌跡的完備性(也叫做充分性)。
一、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟。
1、建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo);
2、寫出點(diǎn)M的'集合;
3、列出方程=0;
4、化簡(jiǎn)方程為最簡(jiǎn)形式;
5、檢驗(yàn)。
二、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法:求軌跡方程的方法有多種,常用的有直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法和交軌法等。
1、直譯法:直接將條件翻譯成等式,整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。
2、定義法:如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義,則可利用曲線的定義寫出方程,這種求軌跡方程的方法叫做定義法。
3、相關(guān)點(diǎn)法:用動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)x,y表示相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)x0、y0,然后代入點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0,y0)所滿足的曲線方程,整理化簡(jiǎn)便得到動(dòng)點(diǎn)Q軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法。
4、參數(shù)法:當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系難以找到時(shí),往往先尋找x、y與某一變數(shù)t的關(guān)系,得再消去參變數(shù)t,得到方程,即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法。
5、交軌法:將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去,得到不含參數(shù)的方程,即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。
求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟:
、俳ㄏ怠⑦m當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;
、谠O(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x,y);
、哿惺健谐鰟(dòng)點(diǎn)p所滿足的關(guān)系式;
、艽鷵Q——依條件的特點(diǎn),選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于X,Y的方程式,并化簡(jiǎn);
⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。
數(shù)學(xué)高中必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)5
空間幾何體表面積體積公式:
1、圓柱體:表面積:2πRr+2πRh體積:πR2h(R為圓柱體上下底圓半徑,h為圓柱體高)。
2、圓錐體:表面積:πR2+πR[(h2+R2)的]體積:πR2h/3(r為圓錐體低圓半徑,h為其高。
3、a—邊長(zhǎng),S=6a2,V=a3。
4、長(zhǎng)方體a—長(zhǎng),b—寬,c—高S=2(ab+ac+bc)V=abc。
5、棱柱S—h—高V=Sh。
6、棱錐S—h—高V=Sh/3。
7、S1和S2—上、下h—高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3。
8、S1—上底面積,S2—下底面積,S0—中h—高,V=h(S1+S2+4S0)/6。
9、圓柱r—底半徑,h—高,C—底面周長(zhǎng)S底—底面積,S側(cè)—,S表—表面積C=2πrS底=πr2,S側(cè)=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h。
10、空心圓柱R—外圓半徑,r—內(nèi)圓半徑h—高V=πh(R^2—r^2)。
11、r—底半徑h—高V=πr^2h/3。
12、r—上底半徑,R—下底半徑,h—高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r—半徑d—直徑V=4/3πr^3=πd^3/6。
14、球缺h—球缺高,r—球半徑,a—球缺底半徑V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r—h)/3。
15、球臺(tái)r1和r2—球臺(tái)上、下底半徑h—高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6。
16、圓環(huán)體R—環(huán)體半徑D—環(huán)體直徑r—環(huán)體截面半徑d—環(huán)體截面直徑V=2π2Rr2=π2Dd2/4。
17、桶狀體D—桶腹直徑d—桶底直徑h—桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母線是圓弧形,圓心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母線是拋物線形)。
數(shù)學(xué)高中必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)6
空間兩條直線只有三種位置關(guān)系:平行、相交、異面。
按是否共面可分為兩類:
(1)共面:平行、相交
(2)異面:
異面直線的定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。
異面直線判定定理:用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線。
兩異面直線所成的角:范圍為(0°,90°)esp。空間向量法。
兩異面直線間距離:公垂線段(有且只有一條)esp?臻g向量法。
若從有無(wú)公共點(diǎn)的角度看可分為兩類:
(1)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)——相交直線;(2)沒有公共點(diǎn)——平行或異面。
直線和平面的位置關(guān)系:
直線和平面只有三種位置關(guān)系:在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行。
、僦本在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
②直線和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
直線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。
空間向量法(找平面的法向量)
規(guī)定:a、直線與平面垂直時(shí),所成的角為直角;b、直線與平面平行或在平面內(nèi),所成的角為0°角。
由此得直線和平面所成角的'取值范圍為[0°,90°]。
最小角定理:斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角。
三垂線定理及逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線,與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它也與這條斜線垂直。
直線和平面垂直
直線和平面垂直的定義:如果一條直線a和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線a和平面互相垂直。直線a叫做平面的垂線,平面叫做直線a的垂面。
直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面。
直線與平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。直線和平面平行——沒有公共點(diǎn)
直線和平面平行的定義:如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn),那么我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面平行。
直線和平面平行的判定定理:如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行。
直線和平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行。
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。1)不等關(guān)系
感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實(shí)際背景。
。2)一元二次不等式
①經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過(guò)程。
②通過(guò)函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系。
、蹠(huì)解一元二次不等式,對(duì)給定的'一元二次不等式,嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖。
。3)二元一次不等式組與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題
、?gòu)膶?shí)際情境中抽象出二元一次不等式組。
、诹私舛淮尾坏仁降膸缀我饬x,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組(參見例2)。
、蹚膶(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決(參見例3)。
(4)基本不等式
、偬剿鞑⒘私饣静坏仁降淖C明過(guò)程。
、跁(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的(小)值問題。
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